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程序员必读:摸清hash表的脾性

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作者:张炎泼(XP),白山云科技合伙人兼研发副总裁,绰号XP。

张炎泼先生于2016年加入白山云科技,主要负责对象存储研发、数据跨机房分布和修复问题解决等工作。以实现100PB级数据存储为目标,其带领团队完成全网分布存储系统的设计、实现与部署工作,将数据“冷”“热”分离,使冷数据成本压缩至1.2倍冗余度。

张炎泼先生2006年至2015年,曾就职于新浪,负责Cross-IDC PB级云存储服务的架构设计、协作流程制定、代码规范和实施标准制定及大部分功能实现等工作,支持新浪微博、微盘、视频、SAE、音乐、软件下载等新浪内部存储等业务;2015年至2016年,于美团担任高级技术专家,设计了跨机房的百PB对象存储解决方案:设计和实现高并发和高可靠的多副本复制策略,优化Erasure Code降低90%IO开销。

软件开发中,一个hash表相当于把n个key随机放入到b个bucket中,以实现n个数据在b个单位空间的存储。

我们发现hash表中存在一些有趣现象:

hash表中key的分布规律

当hash表中key和bucket数量一样时(n/b=1):

  • 37% 的bucket是空的
  • 37% 的bucket里只有1个key
  • 26% 的bucket里有1个以上的key(hash冲突)

下图直观的展示了当n=b=20时,hash表里每个bucket中key的数量(按照key的数量对bucket做排序):

图片描述

往往我们对hash表的第一感觉是:如果将key随机放入所有的bucket,bucket中key的数量较为均匀,每个bucket里key数量的期望是1。

而实际上,bucket里key的分布在n较小时非常不均匀;当n增大时,才会逐渐趋于平均。

key的数量对3类bucket数量的影响

下表表示当b不变,n增大时,n/b的值如何影响3类bucket的数量占比(冲突率即含有多于1个key的bucket占比):

图片描述

更直观一点,我们用下图来展示空bucket率和冲突率随n/b值的变化趋势:

图片描述

key数量对bucket均匀程度的影响

上面几组数字是当n/b较小时有意义的参考值,但随n/b逐渐增大,空bucket与1个key的bucket数量几乎为0,绝大多数bucket含有多个key。

当n/b超过1(1个bucket允许存储多个key), 我们主要观察的对象就转变成bucket里key数量的分布规律。

下表表示当n/b较大,每个bucket里key的数量趋于均匀时,不均匀的程度是多少。
为了描述这种不均匀的程度,我们使用bucket中key数量的最大值和最小值之间的比例((most-fewest)/most)来表示。

下表列出了b=100时,随n增大,key的分布情况。

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可以看出,随着bucket里key平均数量的增加,其分布的不均匀程度也逐渐降低。

和空bucket或1个key的bucket的占比不同n/b,均匀程度不仅取决于n/b的值,也受b值的影响,后面会提到。

未使用统计中常用的均方差法去描述key分布的不均匀程度,是因为软件开发过程中,更多时候要考虑最坏情况下所需准备的内存等资源。

Load Factor:n/b<0.75

hash表中常用一个概念 load factor α=n/b,来描述hash表的特征。

通常,基于内存存储的hash表,它的 n/b ≤0.75。这样设定,既可节省空间,也可以保持key的冲突率相对较低,低冲突率意味着低频率的hash重定位,hash表的插入会更快。

线性探测是一个经常被使用的解决插入时hash冲突的算法,它在1个bucket出现冲突时,按照逐步增加的步长顺序向后查看这个bucket后面的bucket,直到找到1个空bucket。因此它对hash的冲突非常敏感。

在n/b=0.75 这个场景中,如果不使用线性探测(譬如使用bucket内的链表来保存多个key),大约有47% 的bucket是空的;如果使用线性探测,这47%的bucket中,大约一半的bucket会被线性探测填充。

在很多内存hash表的实现中,选择n/b=<=0.75作为hash表的容量上限,不仅是考虑到冲突率随n/b增大而增大,更重要的是线性探测的效率会随着n/b的增大而迅速降低。

hash表特性小贴士:

  • hash表本身是一个通过一定的空间浪费来换取效率的算法。低时间开销(O(1))、低空间浪费、低冲突率,三者不可同时兼得;
  • hash表只适合纯内存数据结构的存储:
    • hash表通过空间浪费换取了访问速度的提升;磁盘的空间浪费是无法忍受的,但对内存的少许浪费是可接受的;
    • hash表只适合随机访问快的存储介质。硬盘上的数据存储更多使用btree或其他有序的数据结构。
  • 多数高级语言(内建hash table、hash set等)都保持 n/b≤<=0.75;
  • hash表在n/b较小时,不会均匀分配key。

Load Factor:n/b>1

另外一种hash表的实现,专门用来存储比较多的key,当 n/b>1n/b1.0时,线性探测失效(没有足够的bucket存储每个key)。这时1个bucket里不仅存储1个key,一般在一个bucket内用chaining,将所有落在这个bucket的key用链表连接起来,来解决冲突时多个key的存储。

链表只在n/b不是很大时适用。因为链表的查找需要O(n)的时间开销,对于非常大的n/b,有时会用tree替代链表来管理bucket内的key。

n/b值较大的使用场景之一是:将一个网站的用户随机分配到多个不同的web-server上,这时每个web-server可以服务多个用户。多数情况下,我们都希望这种分配能尽可能均匀,从而有效利用每个web-server资源。

这就要求我们关注hash的均匀程度。因此,接下来要讨论的是,假定hash函数完全随机的,均匀程度根据n和b如何变化。

n/b 越大,key的分布越均匀

当 n/b 足够大时,空bucket率趋近于0,且每个bucket中key的数量趋于平均。每个bucket中key数量的期望是:

avg=n/b

定义一个bucket平均key的数量是100%:bucket中key的数量刚好是n/b,下图分别模拟了 b=20,n/b分别为 10、100、1000时,bucket中key的数量分布。

图片描述
图片描述
图片描述

可以看出,当 n/b 增大时,bucket中key数量的最大值与最小值差距在逐渐缩小。下表列出了随b和n/b增大,key分布的均匀程度的变化:

图片描述

结论:

图片描述

计算

上述大部分结果来自于程序模拟,现在我们来解决从数学上如何计算这些数值。

每类bucket的数量

图片描述

空bucket数量

对于1个key, 它不在某个特定的bucket的概率是 (b−1)/b
所有key都不在某个特定的bucket的概率是( (b−1)/b)n

已知:

图片描述

空bucket率是:

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空bucket数量为:

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有1个key的bucket数量

n个key中,每个key有1/b的概率落到某个特定的bucket里,其他key以1-(1/b)的概率不落在这个bucket里,因此,对某个特定的bucket,刚好有1个key的概率是:

图片描述

刚好有1个key的bucket数量为:

图片描述

多个key的bucket

剩下即为含多个key的bucket数量:

图片描述

key在bucket中分布的均匀程度

类似的,1个bucket中刚好有i个key的概率是:n个key中任选i个,并都以1/b的概率落在这个bucket里,其他n-i个key都以1-1/b的概率不落在这个bucket里,即:

图片描述

这就是著名的二项式分布。

我们可通过二项式分布估计bucket中key数量的最大值与最小值。

通过正态分布来近似

当 n, b 都很大时,二项式分布可以用正态分布来近似估计key分布的均匀性:

p=1/b,1个bucket中刚好有i个key的概率为:

图片描述

1个bucket中key数量不多于x的概率是:

图片描述

所以,所有不多于x个key的bucket数量是:

图片描述

bucket中key数量的最小值,可以这样估算: 如果不多于x个key的bucket数量是1,那么这唯一1个bucket就是最少key的bucket。我们只要找到1个最小的x,让包含不多于x个key的bucket总数为1, 这个x就是bucket中key数量的最小值。

计算key数量的最小值x

一个bucket里包含不多于x个key的概率是:

图片描述

Φ(x) 是正态分布的累计分布函数,当x-μ趋近于0时,可以使用以下方式来近似:

图片描述

这个函数的计算较难,但只是要找到x,我们可以在[0~μ]的范围内逆向遍历x,以找到一个x 使得包含不多于x个key的bucket期望数量是1。

图片描述

x可以认为这个x就是bucket里key数量的最小值,而这个hash表中,不均匀的程度可以用key数量最大值与最小值的差异来描述: 因为正态分布是对称的,所以key数量的最大值可以用 μ + (μ-x) 来表示。最终,bucket中key数量最大值与最小值的比例就是:

图片描述

(μ是均值n/b)

程序模拟

以下python脚本模拟了key在bucket中分布的情况,同时可以作为对比,验证上述计算结果。

import sys
import math
import time
import hashlib

def normal_pdf(x, mu, sigma):
    x = float(x)
    mu = float(mu)

    m = 1.0 / math.sqrt( 2 * math.pi ) / sigma
    n = math.exp(-(x-mu)**2 / (2*sigma*sigma))

return m * n

def normal_cdf(x, mu, sigma):
    # integral(-oo,x)

    x = float(x)
    mu = float(mu)
    sigma = float(sigma)

    # to standard form
    x = (x - mu) / sigma

    s = x
    v = x
    for i in range(1, 100):
        v = v * x * x / (2*i+1)
        s += v

    return 0.5 + s/(2*math.pi)**0.5 * math.e ** (-x*x/2)
def difference(nbucket, nkey):

    nbucket, nkey= int(nbucket), int(nkey)

    # binomial distribution approximation by normal distribution
    # find the bucket with minimal keys.
    #
    # the probability that a bucket has exactly i keys is:
    #   # probability density function
    #   normal_pdf(i, mu, sigma)
    #
    # the probability that a bucket has 0 ~ i keys is:
    #   # cumulative distribution function
    #   normal_cdf(i, mu, sigma)
    #
    # if the probability that a bucket has 0 ~ i keys is greater than 1/nbucket, we
    # say there will be a bucket in hash table has:
    # (i_0*p_0 + i_1*p_1 + ...)/(p_0 + p_1 + ..) keys.
    p = 1.0 / nbucket
    mu = nkey * p
    sigma = math.sqrt(nkey * p * (1-p))

    target = 1.0 / nbucket
    minimal = mu
    while True:

        xx = normal_cdf(minimal, mu, sigma)
        if abs(xx-target) < target/10:
            break

        minimal -= 1

    return minimal, (mu-minimal) * 2 / (mu + (mu - minimal))
def difference_simulation(nbucket, nkey):

    t = str(time.time())
    nbucket, nkey= int(nbucket), int(nkey)

    buckets = [0] * nbucket

    for i in range(nkey):
        hsh = hashlib.sha1(t + str(i)).digest()
        buckets[hash(hsh) % nbucket] += 1

    buckets.sort()
    nmin, mmax = buckets[0], buckets[-1]

    return nmin, float(mmax - nmin) / mmax
if __name__ == "__main__":

    nbucket, nkey= sys.argv[1:]

    minimal, rate = difference(nbucket, nkey)
    print 'by normal distribution:'
    print '     min_bucket:', minimal
    print '     difference:', rate

    minimal, rate = difference_simulation(nbucket, nkey)
    print 'by simulation:'
    print '     min_bucket:', minimal
    print '     difference:', rate
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