机器学习｜常见的损失函数

公众号：数据山谷

在学习过程中我们经常会接触到损失函数、代价函数、目标函数三个词语，本文让我们来总结一下机器学习中常见的损失函数和代价函数。

概念

首先让我们来了解一下三种损失函数的概念。

损失函数（Loss Function ）是定义在单个样本上的，算的是一个样本的误差。

代价函数（Cost Function ）是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是损失函数的平均。

目标函数（Object Function）定义为：最终需要优化的函数。等于经验风险+结构风险（也就是代价函数 + 正则化项）。

关于目标函数和代价函数的区别还有一种通俗的区别：

目标函数是最大化或者最小化，而代价函数是最小化。

常见的损失函数

0-1损失函数（0-1 loss function）

函数表达式：

$L(y,f(x))=\{\begin{array}{c}1,y\ne f(x)\\ 0,y=f(x)\end{array}$

函数说明：

• 关于0-1损失函数，也就是说当我们预测错误时，损失函数的值为1，预测正确时，损失函数的值为0，该函数无需考虑预测值和真实值的误差程度，只要预测错误就会输出1。

函数特点：

• 0-1损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用。
• 感知机通常会使用该损失函数，在使用的时候我们也可以通过设置一个阈值的方式来放宽它的条件，改变成下面的形式：

$L(y,f(x))=\{\begin{array}{c}1,|y-f(x)|⩾T\\ 0,|y-f(x)|<T\end{array}$

平方损失函数（quadratic loss function）

函数表达式：

$L(y,f(x))=(y-f(x){)}^2$

函数说明：

• 平方损失函数指的是预测值与实际值差的平方。

函数特点：

• 平方损失函数经常应用在回归问题上。

绝对值损失函数（absolute loss function）

函数表达式：

$L(y,f(x))=|y-f(x)|$

函数说明：

• 该损失函数本质上和平方损失函数没有什么差别，只不过此时取的是绝对值而不是平方，差距不会因为平方而被放大。

函数特点：

• 绝对值损失函数经常用在回归问题上。

对数损失函数（logarithmic loss function）

函数表达式：

$L(y,p(y|x))=-\log p(y|x)$

函数说明：

• 对数损失函数用到了极大似然估计的思想，我们对p(y|x)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本x它的预测值为y，也就是我们预测正确的概率，但是我们在概率之间的同时满足需要使用乘法，考虑到计算方便，我们取对数将其转化为加法，同时由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取反。

函数特点：

• log损失函数能够很好的表示概率分布，适用于很多的分类场景中，如果需要知道结果属于每个类别的置信度log损失函数非常适合。
• log损失函数对噪声很敏感。
• 逻辑回归的损失函数就是log损失函数。

合页损失函数（Hinge loss function）

函数表达式：

L ( w , b ) = m a x { 0 , 1 − y f ( x ) } L(w,b)=max\{0,1-yf(x)\} L(w,b)=max{0,1−yf(x)}

$y=\pm 1,f(x)=wx+b$

函数说明：

• hinge损失函数一般用作分类算法的损失函数。

函数特点：

• SVM使用的就是hinge损失函数，hinge损失函数表示如果被分类正确，损失为0，否则损失就为1-yf(x)。
• 一般的f(x)是预测值，在[-1,1]之间，y是目标值（-1或1）。我们并不鼓励|f(x)|>1，也就是不鼓励分类器过度的自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过1并不会有任何奖励，从而使分类器可以更加专注于整体的误差。
• Hinge算是函数对异常点、噪声并不敏感，但是相对于log损失函数来说它没有很好的概率解释。

指数损失函数（exponential loss）

函数表达式：

$L(y|f(x))=\exp (-yf(x))$

函数说明：

• 一种很少接触并使用的损失函数。

函数特点：

• AdaBoost算法使用的就是指数损失函数，该损失函数对噪声、离群点非常敏感。

常见的代价函数

均方误差（Mean Squared Error）

函数表达式：

$MSE=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(y^i-f(x^i){)}^2$

函数说明：

• 均方误差是指预测值与真实值之差平方的期望值；MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。

函数特点：

• 均方误差通常用来做回归问题的代价函数。

均方根误差（Root Mean Squared Error）

函数表达式：

$RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(y^i-f(x^i){)}^2}$

函数说明：

• 均方根误差是均方误差的算术平方根，能够直观观测预测值与实际值的离散程度。

函数特点：

• 通常用来作为回归算法的性能指标

平均绝对误差（Mean Absolute Error）

函数表达式：

$MAE=\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N|y^i-f(x^i)|$

函数说明：

• 平均绝对误差是绝对误差的平均值 ，平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况。

函数特点：

• 通常用来作为回归算法的性能指标。

交叉熵代价函数（Cross Entry）

函数表达式：

$H(p,q)=-{\sum }_{i=1}^{N}p(x^i)\log q(x^{-i})$

函数说明：

• 交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，减少交叉熵损失就是在提高模型的预测准确率。其中p(x)指的是真实分布的概率，q(x)是模型通过数据计算出来的概率估计。

函数特点：

• 通常用做分类问题的代价函数。

举例说明：

逻辑回归（二分类）的损失函数：

$Loss=-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N(y^{(i)}log(h_{(\theta )}(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})log(1-h_{(\theta )}(x^{(i)})))$

这里的h(x)可以是sigmoid函数，也可以是深度学习中的其他激活函数。