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本文最早发布于2022-03-18，转载请注明出处

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前言：

最近需要完成一个作业，即程序实现《机器人学导论》中的齐次变换矩阵，并实现空间变换的动态效果。经过细致推敲，作者在愉快地交上作业后便留下了此文，用于交流和学习。本文主要内容来自于作业报告(原因是作者懒，不想改太多)，涉及齐次变换矩阵的介绍和Matlab程序的设计思路。总而言之，谨以此文来进行记录和学习交流。

作业要求

作业的要求就是将上面的过程给动态化。不过为了让程序更具备一般性，我们仅考虑局部坐标系的变换情况，而不会特别的去考虑P点该怎么计算。因为一但知道变换后的局部坐标系的位置和姿态，便可以很轻易的计算出P点的坐标。

先放一个最终的动态效果图

 正文

先介绍下齐次变换矩阵

 齐次变换矩阵F主要分成两部分，第一部分是一个3*3的矩阵，代表了局部坐标系的坐标轴的正向方向，其由三个单位方向向量组成。

第二部分则代表局部坐标系原点在全局坐标系中的坐标。至于矩阵的第4行，可以简单地理解为向量的长度（其实这并不准确，不过这里不再赘述，因为不是重点）

1.平移效果的实现

在齐次变换矩阵 F 中， 的实际含义便是局部参考系的原点在全局坐标系中的坐标。此外，我们知道，单纯平移操作并不会改变局部坐标轴的方向（即没有旋转），而是仅仅改变P点相当于全局坐标系的坐标。

那么，只要设置一个变量用于储存P点的坐标，然后在每次平移后，按P点的位置来绘制局部坐标系即可。

平移的Matlab核心代码（部分），这里我们仅用图片的方式呈现一种思路。

2.旋转效果的实现

 在理论计算中，旋转效果的实现依赖于旋转矩阵（实际上这是一种线性变换，空间的映射）。例如若是绕X轴旋转度，计算过程如下图所示：

 其中为P在全局坐标系中的坐标，为P点在局部坐标系中的坐标，而代表绕X轴旋转角度。

遵循同样的思路，我们不关注P点前后的计算结果，因为程序实现比较复杂。重点的关注对象是旋转矩阵以及其内部隐含的信息。回到齐次矩阵F，其组成除了原点外，还有局部坐标轴矩阵。分析矩阵，便可以知道局部坐标轴的朝向。

下图是一个齐次变换矩阵的实例

 单位方向向量在矩阵T中对应的便是，其代表局部坐标系的其中一个坐标轴 在全局参考系的X、Y和Z轴上的分量分别为1、0和0。更具体地说，便是该坐标轴和全局参考系中的X轴同方向（注意，比例因子为0，代表无穷远，加上方向便是坐标轴）。

将矩阵和旋转矩阵进行左乘，便可以得到旋转之后的矩阵局部坐标系矩阵。我们只需要解读每一次旋转后矩阵的信息，便可以实现想要的旋转效果。特别地，由于计算精度的误差，我们这里只采用90度旋转，其正余弦值在-1，1和0之间变动。

常见的旋转矩阵如下：

 

 旋转效果的核心代码为：

 最终实现效果在开头已经给出。

结语

最近一直在实现一种编程思路，将代码封装成各个模块便可以像搭积木一样实现不同的过程。这次也是这样处理。例如这次是这样实现三个操作的。

感兴趣的朋友可以关注博客，不定期更新。