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一、隐马尔可夫模型

隐马尔科夫模型（Hidden Markov Model，以下简称HMM）是比较经典的机器学习模型了，它在语言识别，自然语言处理，模式识别等领域得到广泛的应用。

使用HMM模型时我们的问题一般有这两个特征：

１）我们的问题是基于序列的，比如时间序列，或者状态序列。

２）我们的问题中有两类数据，一类序列数据是可以观测到的，即观测序列；而另一类数据是不能观察到的，即隐藏状态序列，简称状态序列。

二、隐马尔可夫模型定义

对于HMM模型，首先我们假设Q是所有可能的隐藏状态的集合，$V$ 是所有可能的观测状态的集合，即：

其中，$N$是可能的隐藏状态数，$M$是所有的可能的观察状态数。

对于一个长度为$T$的序列，$I$ 对应的状态序列, $O$ 是对应的观察序列，即：

HMM模型做了两个很重要的假设如下：

1） 齐次马尔科夫链假设。即任意时刻的隐藏状态只依赖于它前一个隐藏状态。
如果在时刻 $t$ 的隐藏状态是 $i_t=q_t$ ，在时刻 $t+1$的隐藏状态是 $i_{t+1}$，则从时刻 $t$ 到时刻 $t+1$ 的HMM状态转移概率：

这样 $a_{ij}$ 可以组成马尔科夫链的状态转移矩阵$A$：

2） 观测独立性假设。即任意时刻的观察状态只仅仅依赖于当前时刻的隐藏状态，这也是一个为了简化模型的假设。
如果在时刻 $t$ 的隐藏状态是 $i_t=q_t$，而对应的观察状态为 $o_t=v_t$，则该时刻观察状态 $v_k$ 在隐藏状态 $q_j$ 下生成的概率 $b_j(k)$ 满足：

这样 bij 可以组成观测状态生成的概率矩阵 B：

除此之外，我们需要一组在时刻 $t=1$ 的隐藏状态概率分布 $\Pi$ ：

一个HMM模型，可以由隐藏状态初始概率分布$\Pi$ ，状态转移概率矩阵 $A$ 和观测状态概率矩阵 $B$ 决定。$A$ 决定状态序列，$B$ 决定观测序列。因此，HMM模型可以由一个三元组表示，如下：

三、举例

1.初始条件

假设我们有3个盒子，每个盒子里都有红色和白色两种球，这三个盒子里球的数量分别是：

按照下面的方法从盒子里抽球，开始的时候，从第一个盒子抽球的概率是0.2，从第二个盒子抽球的概率是0.4，从第三个盒子抽球的概率是0.4。以这个概率抽一次球后，将球放回。然后从当前盒子转移到下一个盒子进行抽球。

2.规则

如果当前抽球的盒子是第一个盒子，则以0.5的概率仍然留在第一个盒子继续抽球，以0.2的概率去第二个盒子抽球，以0.3的概率去第三个盒子抽球。如果当前抽球的盒子是第二个盒子，则以0.5的概率仍然留在第二个盒子继续抽球，以0.3的概率去第一个盒子抽球，以0.2的概率去第三个盒子抽球。如果当前抽球的盒子是第三个盒子，则以0.5的概率仍然留在第三个盒子继续抽球，以0.2的概率去第一个盒子抽球，以0.3的概率去第二个盒子抽球。

3.观测

如此下去，直到重复三次，得到一个球的颜色的观测序列:$O$={红，白，红}，在这个过程中，观察者只能看到球的颜色序列，却不能看到球是从哪个盒子里取出的。

4.HMM模型

1. 观察集合是: $V$={红，白}，$M$=2
2. 状态集合是：$Q$={盒子1，盒子2，盒子3}，$N$=3
3. 初始状态分布为：$\Pi$ = $(0.2,0.4,0.4{)}^T$
4. 状态转移概率分布矩阵为：
   .
5. 观测状态概率矩阵为：
   

5.观测序列的生成

四、HMM模型的三个基本问题

1.评估观察序列概率

给定模型 $\lambda =(A,B,\Pi )$ 和观察序列 $O=$ $o_1,o_2,...,o_T$ ，计算在模型 $\lambda$ 下观测序列 $O$ 出现的概率 $P(O|\lambda )$。这个问题的求解需要用到前向后向算法，这个问题是HMM模型三个问题中最简单的。

2.模型参数学习问题

给定观测序列 $O=$ $o_1,o_2,...,o_T$ ，估计模型 $\lambda =(A,B,\Pi )$ 的参数，使该模型下观测序列的条件概率 $P(O|\lambda )$最大。这个问题的求解需要用到基于EM算法的鲍姆-韦尔奇算法， 这个问题是HMM模型三个问题中最复杂的。

3.预测问题，也称为解码问题（分词关系的问题）

给定模型 $\lambda =(A,B,\Pi )$ 和观测序列$O=$ $o_1,o_2,...,o_T$，求给定观测序列条件下，最可能出现的对应的状态序列，这个问题的求解需要用到基于动态规划的维特比算法，这个问题是HMM模型三个问题中复杂度居中的算法。