学习这篇博客需要上一篇的基础知识 模糊数学基础

模糊模式识别基础

1.择近原则

贴近度是对两个F集接近程度的一种度量

定义

设$$A,B,C\in F(U)$$ 若映射

​ $$N:F(U)\times F(U)->[0,1]$$

满足条件：
$$(1):N(A,B)=N(B,A)$$

​ $$(2):N(A,A)=1,N(U,\varnothing )=0$$

​ $$(3):若A\in B\in C,则N(A,C)\le N(A,B)\cap N(B,C)$$

（注:这里本来应该用^符号来表示模糊集的交集，但是不方便打出来，求它也就是求min{})

则称 N(A,B)为F集A与B的贴近度.N称为F(U)上的贴近度函数.

贴近度函数一般有以下三种

汉明贴近度

若U={u1,u2,···,un},则

​ $$N(A,B)=1-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|A(u_i)-B(u_i)|$$

当U为实数域上的闭区间[a,b]时，则有

​ $$N(A,B)=1-\frac{1}{b-a}{\int }_a^b|A(u)-B(u)|d_u$$

(Hint:实际上这里的"="应该为定义符号)

欧几里得贴近度

若U={u1,u2,···,un},则当U=[a,b]时,则有

​ $$N(A,B)=1-\frac{1}{\sqrt{b-a}}{({\int }_a^b(({A(u)-B(u))}^{2}du)}^{\frac{1}{2}}$$

黎曼贴近度

若$$U=(-\infty ,+\infty )$$为实数域，所涉及的函数都黎曼可积，且广义积分收敛，则两种黎曼贴近度分别记作

​ $$N1(A,B)=\frac{{\int }_{-\infty }^{+\infty }(A(u)\cap B(u))du}{{\int }_{-\infty }^{+\infty }(A(u)\cup B(u))du}$$ (Hint: 这里本来应该用^符号来表示模糊集的交集，但是不方便打出来)

贴近原则

$$设A_i,B\in F(u)(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n),若存在i_0,使$$

​ N ( A i 0 , B ） = m a x { N ( A 1 , B ) , N ( A 2 , B ) , ⋅ ⋅ ⋅ , N ( A n , B ) } N(A_i0,B）=max\{N(A1,B),N(A2,B),···,N(An,B)\} N(Ai​0,B）=max{N(A1,B),N(A2,B),⋅⋅⋅,N(An,B)}

$$则认为B与A_{i}0最贴近，即判定B与A_{i0}为一类，该原则称为择近原则.$$

栗：

设标准库集合(向量表示法)A1=(0.4,0.3,0.5,0.3), A2=(0.3,0.3,0.4,0.4), A3=(0.2,0.3,0.3,0.3),

待识别集合B=(0.2,0.3,0.4,0.3),试确定B属于哪一类.

公式解：

利用欧几里得贴近度分别计算 N(B,A1) N(B,A2) N(B,A3)

得到N(B,A3)=0.95最大 因此集合库B与集合库中A3最为接近，因此B归于A3类.

用python程序求解：

import numpy as np
a=np.array([[0.4,0.3,0.5,0.3],[0.3,0.3,0.4,0.4],[0.2,0.3,0.3,0.3]])
b=np.array([0.2,0.3,0.4,0.3]); N=[]
for i in range(len(a)): N.append(1-(np.linalg.norm(a[i]-b))/2) ##这里的2就是是1/sqrt(a.size/a.shape[0])
print("贴近度分别为: ",N)

这里使用了numpy的linalg模块 linalg就是linear和algebra的组合 也就是说这个库主要是用来研究线性代数的 np.linalg.norm是用来求范数的，可以是向量范数或者是矩阵范数

默认情况下是求L2(二范数) 也就是最常见的模 平方和开方

2.最大隶属原则

定义

$$设A_i\in F(U)(i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n),对u_0\in U,若存在i_0,使$$

​ A i 0 ( u 0 ) = m a x { A 1 ( u 0 ) , A 2 ( u 0 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , A n ( u 0 ) } A_{i0}(u_0)=max\{A1(u_0),A2(u_0),···,An(u_0)\} Ai0​(u0​)=max{A1(u0​),A2(u0​),⋅⋅⋅,An(u0​)}

$$则认为u_0相对地隶属于A_{i0},这就是最大隶属原则$$

栗：

考虑人的年龄问题，分为年轻、中年、老年三类，分别对应三个F集A1,A2,A3.设论域U=(0,100],且对

$$x\in (0,100]$$，有

$$A1(x)=\{\begin{array}{l}1,0<x\le 20\\ 1-2({\frac{x-20}{20})}^2,20<x\le 30\\ 2({\frac{x-40}{20})}^2,30<x\le 40\\ 0,40<x\le 100\end{array}$$

$$A2(x)=\{\begin{array}{l}0,0<x\le 50\\ 2({\frac{x-20}{20})}^2,50<x\le 60\\ 1-2({\frac{x-40}{20})}^2,60<x\le 70\\ 1,70<x\le 100\end{array}$$

$$1-A1(x)-A3(x)=\{\begin{array}{l}0,0<x\le 20\\ 2({\frac{x-20}{20})}^2,20<x\le 30\\ 1-2({\frac{x-40}{20})}^2,30<x\le 40\\ 1,40<x\le 50\\ 1-2({\frac{x-40}{20})}^2,50<x\le 60\\ 2({\frac{x-70}{20})}^2,60<x\le 70\\ 0,70<x\le 100\end{array}$$

解：

某人40岁，根据上式，A1(40)=0, A2(40)=1,A3(40)=0,

则A2(40)=max{A1(40),A2(40),A3(40)}=1,

按最大隶属原则，他应该是中年人.

又如当x=35时，A1(35)=0.125,A2(35)=0.875,A3(35)=0.

可见35岁的人应该是中年人.

所以，建立一个模糊数学模型的关键就是隶属函数的确定.