背景

深度学习中，梯度下降是很重要的损失函数优化算法，所以想弄明白具体的工作原理，以及用代码简单呈现

术语介绍

梯度下降算法是一种基于搜索的优化方法，用于寻找函数的最小值或最大值。其背后的原理是目标函数关于参数的梯度将是损失函数（loss function）上升最快的方向。 而我们要最小化loss，只需要将参数沿着梯度相反的方向前进一个步长，就可以实现目标函数（loss function）的下降。 这个步长η 又称为学习速率。

在现代深度学习中，梯度下降算法被广泛使用。深度学习是机器学习的一个分支，它使用人工神经网络来模拟人脑的功能，以解决复杂的模式识别和预测问题。在深度学习中，我们常常需要最小化损失函数，以便让模型更好地拟合训练数据。梯度下降算法通过计算损失函数关于模型参数的梯度，然后沿着梯度的反方向更新参数值，不断迭代直至收敛。

在深度学习中，梯度下降算法有多种实现方式，包括原始梯度下降法、批量梯度下降法、随机梯度下降法和小批量梯度下降法等。其中，批量梯度下降法对所有的样本计算梯度后求平均，并更新参数，但速度较慢且无法处理超出内存容量限制的数据集。随机梯度下降法则在每次更新时只使用一个样本，使得计算速度加快，但可能会在局部最优解附近徘徊。小批量梯度下降法则介于两者之间，通过使用一定数量的样本计算梯度并更新参数，以平衡计算速度和收敛效果。

总之，梯度下降算法是现代深度学习中非常重要的优化方法之一，它通过计算损失函数的梯度并沿着梯度的反方向更新参数值，以实现损失函数的下降。不同的实现方式可以根据具体问题和数据集的特点进行选择。

可研究的参数

在这个代码中，可以虚构不同的损失函数模型，设置不同的学习率，观察数据收敛的速度和梯度变化的趋势

学习率的影响

相同的损失函数

lr = 0.01

lr = 0.001

可见学习率显著影响模型收敛速度

那学习率是不是越大越好呢？

并不是

过高的学习率在变化复杂的函数中可能在谷底震荡，甚至直接跳到另一个山谷

没有极值的函数无法使用梯度下降

直接上代码

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def main():
    def loss_fn(x):
        return (x + 5)**2 + 1
    
    def df_loss(x, h =0.00001):
        return (loss_fn(x + h) - loss_fn(x)) / h
    
    lr = 0.01
    x_pos = random.randint(-100, 100)
    print("X starts from {}".format(x_pos))
    steps = 0
    grade_trend = list()
    loss_trend = list()
    function_trend = list()
    for x in range(-100, 100):
        function_trend.append((x, loss_fn(x)))
    while (True):
        grade = df_loss(x_pos)
        x_pos = x_pos - lr * grade
        grade_trend.append((x_pos, grade))
        loss = loss_fn(x_pos)
        loss_trend.append((x_pos, loss))
        steps += 1
        if (steps % 10 == 0):
            print("after {} steps, find when x = {:.3f} grade = {:.5f} loss = {:.5f}".format(steps, int(x_pos), grade, loss))
        if ((abs(grade) < 0.1e-5)):
            break;
    
    fig, (ax1, ax2, ax3) = plt.subplots(1, 3)
    x=[row[0] for row in function_trend]
    y=[row[1] for row in function_trend]
    ax1.plot(x,y, label="Function", color = 'blue')
    ax1.legend()
    x=[row[0] for row in grade_trend]
    y=[row[1] for row in grade_trend]
    ax2.plot(x,y, label="Grade", color = 'red')
    ax2.legend()
    x=[row[0] for row in loss_trend]
    y=[row[1] for row in loss_trend]
    ax3.plot(x,y, label="Loss", color = 'green')
    ax3.legend()
    (5,5,"When lr = {}\nAfter {} steps".format(lr, steps))
    
    plt.show()
    return

if (__name__ == "__main__"):
    main()

代码解析（from GPT）

这段代码实现了一个简单的梯度下降算法，用于寻找一个函数的最小值。以下是代码的详细解释：

1. 导入必要的库：

   • random：用于生成随机数。
   • numpy as np：用于数组和矩阵操作。
   • matplotlib.pyplot as plt：用于绘图。

2. 定义主函数 main()：

a. 定义损失函数 loss_fn(x)：

* 这个函数返回给定 x 的损失值。在这个例子中，损失函数是 \((x + 5)^2 + 1\)。

b. 定义损失函数的导数 df_loss(x, h =0.00001)：

* 使用有限差分法计算损失函数的导数。导数近似为 \(\frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)。

c. 设置学习率 lr 和初始位置 x_pos：

	* `lr = 0.001`：学习率决定了每次更新的步长。
	* `x_pos` 是随机初始化的，范围在 [-100, 100]。

d. 开始梯度下降过程：

	* 使用一个 `while` 循环进行迭代。在每次迭代中，计算当前位置的梯度，然后按照梯度的反方向更新 `x_pos`。
	* 记录每一步的梯度、损失和 `x_pos` 的值。
	* 如果梯度的绝对值小于一个很小的阈值（`0.1e-5`），则停止迭代，因为这意味着已经接近最小值。

e. 使用 matplotlib 绘图：

	* 在一个图上显示三个子图：原函数、梯度和损失随 x 的变化。
	* 使用不同的颜色标记不同的曲线。

f. 显示图像并结束。