这是算法第四版第一章第五节的内容，关于连通图的问题。我没有对算法进行问题描述，所以不适合不了解UF算法所解决的问题的读者。
另外如果你是，从预测程序运行时间那一篇来的。下面的内容会帮你，了解时间预测的具体步骤，算法的内容你可以忽略，只看估测过程。

union-find 算法

API

方法	作用
public ClassName(int N)	接收总触点数并初始化连通标识符和连通分量数
public boolean connected(int p, int q)	检测两个触点是否属于同一个分量
public int size()	返回连通分量总数
public int find(int dot)	查找一个触点的连通分量标识符
public void union(int p, int q)	将p,q所属的分量合并（合并于p或者q）

Quick-find算法

时间复杂度分析

每次find() 访问数组次数是 一次

每次union() 访问数组的次数是 N次

将规模为N的触点完全连通成一个分量 需要的访问次数是
$$\underset{N\to \infty }{\lim }N\ast (N-1)=N^2$$

public class QuickFind {
	private int[] id;
	private int count;
	
	public QuickFind(int N)
	{
		count = N;
		id = new int[N];
		for(int i = 0;i<N;i++)
		{
			id[i] = i;
		}
	}
	
	public int size()
	{
		return count;
	}
	
	public boolean connected(int p, int q)
	{
		return find(p) == find(q);
	}
	
	public int find(int dot)
	{
		return id[dot];
	}
	
	public void union(int p, int q)
	{
		int pId = find(p);
		int qId = find(q);
		for(int i = 0;i<id.length;i++)
		{
			if(id[i] == pId) id[i] = qId;
		}
		count--;
	}
}

一般预测

根据（N,T）数据对描绘出来

根据访问数组总次数的分析，可以知道这个算法的时间复杂度是平方级别的

这个图像也像是二次函数的右边部分

倍率实验

实验数据格式

数据规模—运行时间—倍率（与上一次运行时间之比）

$$（预测起点）N_0=64000$$

$$（预测起点的实验耗时）baseTime=3.5s$$

$$（倍率）2^b=3.7$$

• 为什么预测起点选择 64000 ? 看实验数据倍率趋近于3.7，而64000处于倍率趋近于3.7的数据项的较中间位置。
• 为什么倍率选3.7？数据规模越大，倍率越趋近于理论倍率。
• 为什么只需要一组实验数据就能够进行预测？当我们尝试用更多组数据来进行求平均或者怎么样，这都是不准确的，我们预测的理论本身就是估计的所以没有必要多组求平均。

预测

• N =256,000 time ≈ 47.915‬ s （偏低）

• N = 512,000 time ≈ 177.2855‬ s （偏低）

• N = 1,000,000 time ≈ 655.95 （11分钟左右）

• N = 10,000,000 time ≈ 122936.78 (34小时左右)

幂次法则

数据格式

​ 数据规模 N-----运行时间 s

纵坐标是，lg(T)

横坐标是，lg(N)

计算

数学模型
$$lg(T(N))=klg(N)+lg(a)①$$

$$T=T(N)$$

k就是斜率，根据图像估算
$$k=2$$
变化一下上面的①公式
$$T(N)=a\ast N^k②$$
从上面的实验数据取（382000，150.152）再加上 已知的 k代入公式② ；

计算出：
$$a=1.0\ast 10^{-9}$$
最终得到函数：

$$T(N)=1.0\ast 10^{-9}\ast N^2$$

• 为什么选（382000,150.152）？位置在中间靠后的数据项都行。
• k怎么算的？ 图像的线性性不是很强，所以k只能是一种估计，我的计算用的是靠后的坐标，为了好算取了整数。

预测

• N =256,000 T ≈ 65.536‬ s （差不多）

• N = 512,000 T ≈ 262.144‬ s （偏低）

• N = 1,000,000 T ≈ 1,000 s (16分钟左右)

• N = 10,000,000 time ≈ 100,000(27.7小时左右)

对比

倍率实验	幂次法则
N =256,000 time ≈ 47.915‬ s （偏低）	N =256,000 T ≈ 65.536‬ s （差不多）
N = 512,000 time ≈ 177.2855‬ s （偏低）	N = 512,000 T ≈ 262.144‬ s （偏低）
N = 1,000,000 time ≈ 655.95 （11分钟左右）	N = 1,000,000 T ≈ 1,000 s (16分钟左右)
N = 10,000,000 time ≈ 122936.78 (34小时左右)	N = 10,000,000 time ≈ 100,000(27.7小时左右)

这两种预测方式，对于这个算法的时间预测都是适用的。

Quick-Union算法

时间复杂度分析

find() 访问数组的次数是 1+访问触点所在深度的两倍

一个union() 有两个 find()+1

一个connected() 有两个find()

对于一组触点的连通最坏的访问次数是
$$N^2$$

public class QuickUnion {
	private int[] id;
	private int count;
	
	public QuickUnion(int N)
	{
		count = N;
		id = new int[N];
		for(int i = 0;i<N;i++)
		{
			id[i] = i;
		}
	}
	
	public int size()
	{
		return count;
	}
	
	public boolean connected(int p, int q)
	{
		return find(p) == find(q);
	}
	
	public int find(int dot)
	{
		while(dot != id[dot]) dot = id[dot];
		return dot;
	}
	
	public void union(int p, int q)
	{
		int pId = find(p);
		int qId = find(q);
		id[pId] = qId;
        count--;
	}
}

一般预测

也差不多是二次函数的右边部分。

倍率实验

$$N_0=64000$$

$$baseTime=1.3s$$

$$2^b=5.1$$

预测

• N = 256000 time ≈ 33.81 s（偏低）

• N = 512000 time ≈ 172.44 s （偏低）

• N = 1,000,000 time ≈ 879.47 s (15分钟左右)

• N = 10,000,000 time ≈ 594983.27 s (7天左右)

幂次法则

实验数据

数据规模起点是132000 每次递增50000

对数图像

计算
$$lg(T(N))=klg(N)+lg(a)①$$

$$T=T(N)$$

看公式，我们的任务是算出 k 和 a.

根据上图 估算出斜率
$$k=3$$

变化一下上面的①公式我们得到，书上也写的很明白，不难！
$$T(N)=a\ast N^k②$$

将实验数据里的（382000,110.83）和 k = 3代入②得
$$a=1.99\ast 10^{-15}$$
得到函数
$$T=1.99\ast 10^{-15}\ast N^3$$
预测：

• N = 256,000 time ≈ 33.3 s （差不多）

• N = 512,000 time ≈267.09 s （偏低）

• N = 1,000,000 time ≈1,988.2 s (33分钟左右)

• N = 10,000,000 time ≈ 1,990,000 s (23天左右)

对比

倍率试验	幂次法则
N = 256000 time ≈ 33.81 s（偏低）	N = 256,000 time ≈ 33.3 s （差不多）
N = 512000 time ≈ 172.44 s （偏低）	512,000 time ≈267.09 s （偏低）
N = 1,000,000 time ≈ 879.47 s (15分钟左右)	1,000,000 time ≈1,988.2 s (33分钟左右)
N = 10,000,000 time ≈ 594983.27 s (7天左右)	N = 10,000,000 time ≈ 1,990,000 s (23天左右)

对于这个算法，倍率试验会比较合适。

而幂次法则得出的关于T,N的函数是立方级别的关系，这与最坏情况下的时间复杂度不符，所以偏差会很大！

加权Quick-Union算法

时间复杂度分析

find()访问数组的次数是 1+访问触点所在深度的两倍

一个union() 有两个 find()+1

一个connected() 有两个find()

这个加权union()机制保证了 含有N个结点的树的高度小于等于lg(N)

因为树的平均高度明显下降，所以保证了每次find() 访问数组的次数在一个较低的水平

所以整体的访问次数控制在了lg(N)

这样一下就将 平方级别降到了对数级别

public class WeightedQuickUnion {
	private int[] id;
	private int[] w;
	private int count;
	
	public WeightedQuickUnion(int N)
	{
		count = N;
		id = new int[N];
		w = new int[N];
		for(int i = 0;i<N;i++)
		{
			id[i] = i;
			w[i] = 1;
		}
	}
	
	public int size()
	{
		return count;
	}
	
	public boolean connected(int p, int q)
	{
		return find(p) == find(q);
	}
	
	public int find(int dot)
	{
		while(dot != id[dot]) dot = id[dot];
		return dot;
	}
	
	public void union(int p, int q)
	{
		int pId = find(p);
		int qId = find(q);
		if(w[qId]>w[pId])
		{
			id[pId] = qId;
			w[qId] += w[pId];
		}
		else
		{
			id[qId] = pId;
			w[pId] += w[qId];
		}
        count--;
	}
}

数据图像

倍率实验

读取

• N = 1,000,000 time ≈ 0.6 s
• N = 10,000,000 1.6 s< time < 3.3 s

问题

描述： 不管是用倍率试验还是幂次法则，算法一在处理大的数量级的数据的时候效率总是高于算法二。但是算法一的时间复杂度明显是平方级别，而算法二是在最坏的情况下时间复杂度才是平方级别。从实际的处理效率来看，算法二基本上都是优于算法一的。就从实验数据来看，这样的现象是符合时间复杂度关系的。

问题： 为什么，预测的结果不是算法二优于算法一呢？

小结

• 倍率实验对于算法的时间预测是比较可靠的
• 幂次法则的预测时间参考要和算法的时间复杂进行比较，如果幂次法则偏离时间复杂度很多，那么预测的结果同样存在很大的偏差，特别是在数据级很高的时候。
• 好的算法是如此的伟大
  如果你想知道程序时间预测的理论分析，请看程序时间预测理论