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线性分类

要解决的问题分为两大类：分类和回归
模型分类：生成式和判别式

从两个角度来看机器学习(点击此处 - 频率派和贝叶斯派)

一、频率派 - 统计机器学习

1、线性回归：

$$f(w,b)=w^{T}x+b,x\in R^p$$

• 为什么要从线性回归来讲：在统计机器学习中占据了核心地位：是最基础的、最简单的模型
• 怎么能占据核心地位，有3个特点：线性、全局性、数据未加工
• 其他模型和线性回归模型关系：其他的模型就是为了打破线性回归的这一个或多个特点，从而形成了统计机器学习的整个体系架构

从三个方面来打破：属性、全局、系数

①属性非线性：

特征转换
类似于引进了一个二次方的概念
$$x_1^2+x_1^2+x_1{x}_2$$

x是p维的，f关于特征x是线性的

②全局非线性 ：

全局非线性是针对线性分类来讲的

• 全局非线性的方法：是通过对函数的运算结果增加一个函数，来将线性函数改造成非线性函数，比如，神经网络中的激活函数，进行了一个硬编码，从而导致的非线性，如图：
  

③系数非线性：

• 所谓系数(w)非线性，就是系数的生成结果并不是单一的。就像神经网络算法一样，算法的收敛结果是一个分布，也就是位于一个区间之中，这样的算法结果一定不是线性的，这种通过了不确定的方法来引入非线性。
• 对于模型来讲，系数是会变化的：例如
  感知机，系数w是不固定的，根据选取的不同的初始值可能会得到不同的结果

全局性：

• 所谓全局性，也就是将所有的数据看成一个整体来进行拟合，而打破的方法很简单，就是将数据之间分隔开，分段进行拟合。代表有 ：
  ①线性样条回归（把输入空间截成一段一段的，对于每一段都有一个模型，即对样本空间进行局部化）；
  ②决策树（对样本空间进行分割，每次选出来一个节点，相当于对特征空间进行了一次划分，）等方法；

数据未加工：

• 就是输入数据不经过加工直接的输入模型中，那么我们就用新的方法将这个打破，比如：主成分分析PCA,流形等方法来对输入数据进行预处理

2、线性分类

线性分类有两种

①硬分类：

比如感知机，对样本进行二分类，在超平面上方的是A类，在超平面下方的是B类，这是一种比较强硬的分类，常见代表：1、感知机；2线性判别；

②软分类：

属于生成式的，是对结果的分类有概率式的可能，比如说这个点划分为A类是0.7，划分为B类是0.3，我们并没有非常笃定这个点具体是哪个分类，典型代表：1、逻辑斯蒂回归；2、朴素贝叶斯，贝叶斯学派下的生成式

3、感知机模型（硬分类）

• 是什么：找到一条分界线把点进行分类
• 原理：错误驱动的模型
• 迭代：
  

4、线性判别分析（硬分类 - fisher判别分析）

3、4详见-《感知机、线性判别、逻辑斯蒂回归、朴素贝叶斯》

5、线性回归和线性分类的关系

• 线性回归和线性分类之间有着很大的联系，从某种意义上来说，线性分类就是线性回归函数使用激活函数的结果。同时也可以看成是线性回归降维的结果。对于一个线性回归函数，我们可以通过添加全局函数的形式来将其转换为线性分类函数，
  $$y=wTx+b\to y=f(wTx+b)$$

注：$f(w^{T}x+b)$为激活函数，y的值域为{0,1}或者[0,1];这里我们区分两个，如果只有0,1这两个数值，那么就是硬分类，如果是区间[0,1]，那么就是软分类；可以看出$f$函数将 w T x + b ⟼ { 0 , 1 } w^Tx+b⟼{\{0,1}\} wTx+b⟼{0,1}；所以 f 是激活函数；而$f^{-1}$被称为链接函数，将 { 0 , 1 } ⟼ w T x + b {\{0,1}\} ⟼ w^Tx+b {0,1}⟼wTx+b

从回归到分类

• 激活函数

• 降维
  把数据从p维映射到1维，即将多个特征投影到一条直线上，再设置一个阈值，阈值下方为0，上方为1等

二、贝叶斯派 - 概率图模型

概率图

参考

CSDN Blog:《5-线性分类-总体概述》
Bilibili:《机器学习 - 白板推导系列》