一、点在直线的投影坐标

    如下图所示，直线l1：y=kx+b，直线外有一点P(x0, y0)，问：点P在直线上的投影坐标为多少呢？  

   求点P的投影坐标，即是求过点P(x0, y0)的直线l2垂直于直线l1的交点M。由于两条直线相互垂直，则有：k1k2=-1，设过P点的直线l2为：y-y0=-k-1(x-x0),两条直线的交点为M(x1, y1)，那么点P在直线l1的投影为：

      以下是Matlab求点P在直线y=kx+b的投影坐标：

     
     

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         clc;clear 
         
         all;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         p=[
         
         4 
         
         4];         %点p
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         k=
         
         2;             %直线斜率
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         b=
         
         1;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         X=[
         
         0:
         
         0.1:
         
         10]; Y=k*X+b;   %y=kx+b的直线
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         %% 计算投影点M(x1,y1)
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         x1=(k*(p(
         
         2)-b)+p(
         
         1))/(k*k+
         
         1);
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         y1=k*x1+b;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         M=[x1 y1]               %点P往直线y=kx+b投影后的坐标
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         %% 绘图
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         figure();
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         hold on;axis equal     %等比例显示
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         axis([
         
         0 
         
         10 
         
         0 
         
         10])
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(X,Y,
         
         'g');         %绘制y=kx+b的直线
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(p(
         
         1),p(
         
         2),
         
         '*k');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(M(
         
         1),M(
         
         2),
         
         'xr');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         title(
         
         '点往直线投影');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         xlabel(
         
         'X')
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         ylabel(
         
         'Y')
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         grid on
        
        
       
       
     
     

      
      
     
     
     
     

（2）向量投影法：将问题转为“向量w2在向量w1方向的投影”（这是我做Fisher线性判别，样本投影到直线时，总结出来的，应该没错吧）：

       思路：用u表示w1方向的单位向量(即上图中的绿色剪头u，也是w1归一化后的单位向量)，向量w2在向量w1方向的投影坐标,即为向量OM，由几何知识得：

     上式中，u是向量w1的单位向量，即：

     利用上式，可以得到向量w2在向量w1方向的投影坐标，即点P=(3,4)在直线w1的投影坐标为：

     对于Matlab强大的矩阵运算来说，这种运算再适合不过了！！！！！！

（3）推广到d维投影的情况：设有n×d的坐标矩阵A（矩阵A中，共有n行，每行为一个向量，每个向量是d维），坐标矩阵A往某一方向w投影时，其投影坐标矩阵M为：

     例如：坐标矩阵A=[ 1 4;2 7;4 5;4 2;3 2;5 6]，这是6×2的坐标矩阵，其投影坐标如图所示：

     
     

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         clc;clear 
         
         all;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         %p=[
         
         2 
         
         6];                             %矩阵点p
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         A=[ 
         
         1 
         
         4;
         
         2 
         
         7;
         
         4 
         
         5;
         
         4 
         
         2;
         
         3 
         
         2;
         
         5 
         
         6];
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         k=
         
         2;                                  %直线斜率
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         X=[
         
         0:
         
         0.1:
         
         10];
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         Y=k*X;                                %y=kx的直线
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         wk=[
         
         1 k];                             %投影的直线方向
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         wk=wk/sqrt(
         
         sum(wk.^
         
         2));               %归一化，变为模为
         
         1的单位矢量wk
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         wd= A*wk
         
         '*wk;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         figure
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         hold on;
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         axis equal %等比例显示
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         axis([0 10 0 10])
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(A(:,1),A(:,2),'*
         
         b');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(X,Y,'k
         
         ');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         plot(wd(:,1),wd(:,2),'x
         
         r');
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         xlabel('X1
         
         ')
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         ylabel('X2
         
         ')
        
        
       
       

       
       

        
        

       
       
       
       

        
        

         
         grid on