在模式识别中，我们会考虑到距离distance的问题，就是一个样本和另一个样本在空间中的距离。根据距离的大小来判断分类。那么，也存在这样的一类问题：我们只知道空间中的点（样本）的距离，那么怎么来重构这些点的相对位置呢？

显然欧式距离是最直观的距离，那么我们就会想使用欧式距离来进行计算重构，我们还希望能够在不同维度上进行重构，比如2维或者3维。

怎么做？

有这么个解决方法叫做MDS 全称为 Multidimensional Scaling。

下面Step By Step介绍MDS如何来求解这个问题。

Step 1：问题重述

我们有这么一个距离矩阵，我们通过这个矩阵计算出点的相对位置矩阵X，使得通过X反过来计算距离矩阵与原距离矩阵D差距最小。所以这是一个最优化问题。

大家可以看wikipedia上的问题描述，这里直接截图好了：

Step 2：通过矩阵的方法求解

大家也看到wiki最后说的solution用eigendecompositions 就是特征值分解。

这里就详细说明一下是怎么做的。

转4张MDS的ppt（来源于自己上课老师的ppt）：

解释一下其实很简单：

1）构造了一个矩阵T，然后发现T这个矩阵可以完全由D计算出来

2）T这个矩阵可以做分解啊，那么里面特征值如果大于等于0，就可以开根号。

看这个公式：

U是特征向量，中间那个是特征值的矩阵。

这样的话X就能由选取的几个特征值和特征向量重构出来（这同时也是一种降维的方式）

Step 3：具体Matlab实现

直接转了上课给的例子，例子是知道英国几个城市的相对距离，重构出其相对位置。

Matlab代码：

clc;
clear all;
close all;

%distance matrix for: London, Cardiff, Birmingham, Manchester, York, and
%Glasgow.
d=[0,411,213,219,296,397;...
    411,0,204,203,120,152;...
    213,204,0,73,136,245;...
    219,203,73,0,90,191;...
    296,120,136,90,0,109;...
    397,152,245,191,109,0];

n=size(d,1);
t=zeros(n,n);
for i=1:n
    for j=1:n
        t(i,j)=-0.5*(d(i,j)^2 -1/n*d(i,:)*d(i,:)' -1/n*d(:,j)'*d(:,j) +1/n^2*sum(sum(d.^2)));
    end
end
[V,D] = eig(t)
X=V(:,1:2)*D(1:2,1:2).^(1/2);
scatter(-X(:,2),X(:,1));
axis([-300,300,-300,300]);

Matlab得到的效果：

OK，MDS就这样吧！