一、普通线性回归
1、原理
分类的目标变量是标称型数据，而回归将会对连续型的数据做出预测。

应当怎样从一大堆数据里求出回归方程呢？

假定输人数据存放在矩阵X中，而回归系数存放在向量W中。那么对于给定的数据X1, 预测结果将会通过

Y=X*W

给出。现在的问题是，手里有一些X和对应的Y,怎样才能找到W呢？

一个常用的方法就是找出使误差最小的W。这里的误差是指预测Y值和真实Y值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我 们采用平方误差。
平方误差可以写做:

对W求导，当导数为零时，平方误差最小，此时W等于：

二、岭回归
1、原理
缩减系数来“理解”数据

如果数据的特征比样本点还多应该怎么办？是否还可以使用线性回归和之前的方法来做预测？

答案是否定的，即不能再使用前面介绍的方法。这是因为输入数据的矩阵X不是满秩矩阵。非满秩矩阵在求逆时会出现问题。

为了解决这个问题，统计学家引入了岭回归（ridge regression)的概念

缩减方法可以去掉不重要的参数，因此能更好地理解数据。此外，与简单的线性回归相比，缩减法能取得更好的预测效果。

岭回归是加了二阶正则项的最小二乘，主要适用于过拟合严重或各变量之间存在多重共线性的时候，岭回归是有bias的，这里的bias是为了让variance更小。

总结
1.岭回归可以解决特征数量比样本量多的问题

2.岭回归作为一种缩减算法可以判断哪些特征重要或者不重要，有点类似于降维的效果

3.缩减算法可以看作是对一个模型增加偏差的同时减少方差

岭回归用于处理下面两类问题：

1.数据点少于变量个数

2.变量间存在共线性（最小二乘回归得到的系数不稳定，方差很大）

三、lasso回归
1、原理
【拉格朗日乘数法】

对于参数w增加一个限定条件，能到达和岭回归一样的效果：

在lambda足够小的时候，一些系数会因此被迫缩减到0

四、普通线性回归、岭回归与lasso回归比较
下面举个小例子来说明下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression,Ridge,Lasso

n_sample=50
n_feature=200
x_train=np.random.randn(n_sample,n_feature)

#创建y_train目标
#200  coef
coef=np.random.randn(n_feature)
# y_train=np.dot(x_train,coef)
inds=np.arange(0,200)
#随机打乱顺序
np.random.shuffle(inds)

coef[inds[:190]]=0
y_train=np.dot(x_train,coef)

#分别使用线性回归，岭回归，Lasso回归进行数据预测
lrg=LinearRegression()
ridge=Ridge()
lasso=Lasso()
lrg.fit(x_train,y_train)
ridge.fit(x_train,y_train)
lasso.fit(x_train,y_train)

#数据视图，此处获取各个算法的训练数据的coef_:系数，coef_可以理解为系数

plt.figure(figsize=(12,9))
axes=plt.subplot(221)
axes.plot(coef)
axes.set_title('True_coef')

#线性回归 得到的coef
axes=plt.subplot(222)
axes.plot(lrg.coef_)
axes.set_title('lrg_coef')

#l岭回归 得到的coef
axes=plt.subplot(223)
axes.plot(ridge.coef_)
axes.set_title('ridge_coef')

#lasso回归 得到的coef
axes=plt.subplot(224)
axes.plot(lasso.coef_)
axes.set_title('lasso_coef')