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什么是Gradient Descent（梯度下降法）？

在第二篇文章中有介绍到梯度下降法的做法，传送门：机器学习入门系列02，Regression 回归：案例研究

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-1"> \theta^{*} = \arg \min_{\theta} L(\theta) </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-2"> L: loss function （损失函数） </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-3"> \theta: parameters （参数） </script>

这里的parameters是复数，即 θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-4">\theta</script> 指代一堆参数，比如上篇说到的 w <script type="math/tex" id="MathJax-Element-5">w</script> 和 b<script type="math/tex" id="MathJax-Element-6">b</script>。

我们要找一组参数 θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-7">\theta</script> ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：

假设 θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-8">\theta</script> 有里面有两个参数 θ1,θ2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-9">{\theta_{1}, \theta_{2}}</script>

随机选取初始值 θ0=[θ01θ02] <script type="math/tex" id="MathJax-Element-10">\theta^{0} = \left[ \begin{matrix} \theta^{0}_{1}\\ \theta^{0}_{2} \end{matrix} \right]</script>，这里可能某个平台不支持矩阵输入，看下图就好。

然后分别计算初始点处，两个参数对 L <script type="math/tex" id="MathJax-Element-11">L</script> 的偏微分，然后 θ0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-12">\theta^{0}</script> 减掉 η <script type="math/tex" id="MathJax-Element-13">\eta</script> 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法， ∇L(θ) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-14">\nabla L(\theta)</script>即为梯度。

η <script type="math/tex" id="MathJax-Element-15">\eta</script>叫做Learning rates（学习速率）

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1：调整 learning rates（学习速率）

小心翼翼地调整 learning rate

举例：

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果 learning rate 调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果 learning rate 调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 learning rate 调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，update参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如 learning rate 太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；learning rate 太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；learning rate特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应 learning rate

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少 learning rate

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的 learning rate
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少 learning rate
• 比如 ηt=η/t+1‾‾‾‾‾√ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-16">\eta^{t} = \eta / \sqrt{t+1}</script>， t <script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">t</script> 是次数。随着次数的增加，ηt<script type="math/tex" id="MathJax-Element-18">\eta^{t}</script> 减小

但 learning rate 不能是 one-size-fits-all ，不同的参数需要不同的 learning rate

Adagrad 算法

Adagrad 是什么？

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-19"> w^{t + 1} \leftarrow w^{t} - \eta^{t} g^{t} </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-20"> \eta^{t} = \frac{\eta}{\sqrt{t+1}} </script>

w <script type="math/tex" id="MathJax-Element-21">w</script> 是一个参数

Adagrad 可以做的更好：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-22"> w^{t+1} \leftarrow w^{t} - \frac{\eta^{t}}{\sigma} g^{t} </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-23"> g^{t} = \frac{\partial L(\theta^{t})}{\partial w} </script>

σt <script type="math/tex" id="MathJax-Element-24">\sigma^{t}</script>:之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾？

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 x0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-25">x_{0}</script>，最低点为 −b2a <script type="math/tex" id="MathJax-Element-26">-\frac{b}{2a}</script>，最佳的步伐就是 x0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-27">x_{0}</script> 到最低点之间的距离 |x0+b2a| <script type="math/tex" id="MathJax-Element-28">| x_{0} + \frac{b}{2a} |</script>，也可以写成 |2ax0+b|2a <script type="math/tex" id="MathJax-Element-29">\frac{| 2ax_{0} + b|}{2a}</script>。而刚好 |2ax0+b| <script type="math/tex" id="MathJax-Element-30"> |2ax_{0} + b|</script> 就是方程绝对值在 x0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-31">x_{0}</script>这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-32">w_{1}</script>，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-33">w_{2}</script>，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于a和b，结论1-1是成立的，同理c和b也成立。但是如果对比a和c，就不成立了，c比a大，但c距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 |2ax0+b|2a <script type="math/tex" id="MathJax-Element-34">\frac{| 2ax_{0} + b|}{2a}</script>，还有个分母 2a <script type="math/tex" id="MathJax-Element-35">2a</script> 。对function进行二次微分刚好可以得到：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-36"> \frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}} = 2a </script>

所以最好的步伐应该是：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-37"> \frac{一次微分}{二次微分} </script>

即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 ∑ti=0(gi)2‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-38">\sqrt{\sum^{t}_{i=0} (g^{i})^{2} }</script> 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：Stochastic Gradient Descent（随机梯度下降法）

之前的梯度下降：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-39"> L =\sum_{n} \left( \hat{y}^{n} - (b + \sum w_{i} x^{n}_{i}) \right)^{2} </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-40"> \theta^{i} = \theta^{i -1} - \eta \nabla L(\theta^{i -1}) </script>

而Stochastic Gradient Descent（更快）：

损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 xn <script type="math/tex" id="MathJax-Element-41">x^{n}</script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-42"> L^{n} = \left( \hat{y}^{n} - (b + \sum w_{i} x^{n}_{i} \right)^{2} </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-43"> \theta^{i} = \theta^{i -1} - \eta \nabla L^{n}(\theta^{i -1}) </script>

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数 Ln <script type="math/tex" id="MathJax-Element-44">L^{n}</script>，就可以赶紧update 梯度。

对比：

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个examples，但Stochastic 此时已经走了二十步（没处理一个example就更新）

Tip3：Feature Scaling（特征缩放）

比如有个function：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-45"> y = b + w_{1}x_{1} + w_{2}x_{2} </script>

两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

上图左边是 x1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-46">x_{1}</script>的scale比 x2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-47">x_{2}</script>要小很多，所以当 w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-48">w_{1}</script> 和 w2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-49">w_{2}</script>做同样的变化时， w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-50">w_{1}</script>对y的变化影响是比较小的， x2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-51">x_{2}</script>对y的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-52">w_{1}</script>对y的变化影响比较小，所以 w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-53">w_{1}</script>对损失函数的影响比较小， w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-54">w_{1}</script>对损失函数有比较小的微分，所以 w1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-55">w_{1}</script>方向上是比较平滑的。同理 x2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-56">x_{2}</script>对y的影响比较大，所以 x2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-57">x_{2}</script>对损失函数的影响比较大，所以在 x2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-58">x_{2}</script>方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做 scaling？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组feature。

对每一个维度 i <script type="math/tex" id="MathJax-Element-59">i</script>（绿色框）都计算平均数，记做mi<script type="math/tex" id="MathJax-Element-60">m_{i}</script>；还要计算标准差，记做 σi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-61">\sigma_{i}</script>。

然后用第r个例子中的第i个输入，减掉平均数 mi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-62">m_{i}</script>，然后除以标准差 σi <script type="math/tex" id="MathJax-Element-63">\sigma_{i}</script>，得到的结果是所有的维数都是0，所有的方差都是1

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-64"> \theta^{*} = \arg \min_{\theta} L(\theta) </script>

每次更新参数 θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-65">\theta</script>，都得到一个新的 θ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-66">\theta</script>，它都使得损失函数更小。即：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-67"> L(\theta^{0}) > L(\theta^{1}) > L(\theta^{2})>\cdots </script>

上述结论正确吗？

结论是不正确的。。。

数学理论

比如在 θ0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-68">\theta^{0}</script>处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 θ1 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-69">\theta^{1}</script>，不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

Taylor Series（泰勒展开式）

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 h(x) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-70">h(x)</script>在 x=x0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-71">x = x_{0}</script>点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-72"> h(x) = \sum^{\infty}_{k = 0} \frac{h^{k}(x_{0})}{k!} (x - x_{0})^{k} </script>

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-73"> =h(x_{0}) + h’(x_{0})(x - x_{0}) + \frac{h’’(x_{0})}{2!}(x - x_{0})^2 + \cdots \qquad (1-1) </script>

当 x <script type="math/tex" id="MathJax-Element-74">x</script>很接近x0<script type="math/tex" id="MathJax-Element-75">x_{0}</script>时，有 h(x)≈h(x0)+h′(x0)(x−x0) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-76">h(x) \approx h(x_{0}) + h’(x_{0})(x - x_{0})</script>

式1-1就是函数 h(x) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-77">h(x)</script>在 x=x0 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-78">x = x_{0}</script>点附近关于 x <script type="math/tex" id="MathJax-Element-79">x</script>的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。

举例：

图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 sin(x)<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80">sin(x)</script>。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在 (a,b) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-81">(a,b)</script> 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

将问题进而简化为下图：

不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量 (Δθ1,Δθ2) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-82">(\Delta \theta_{1}, \Delta \theta_{2})</script> 和 (u,v) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-83">(u, v)</script>的内积，那怎样让它最小，就是和向量 (u,v) <script type="math/tex" id="MathJax-Element-84">(u, v)</script> 方向相反的向量

然后将u和v带入。

<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-85"> L(\theta) \approx s + u(\theta_{1} - a) + v(\theta_{2} - b) (1-2) </script>

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

• 容易陷入局部极值
• 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方
• 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点

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