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在机器学习各种优化问题中，凸集、凸函数和凸优化等概念经常出现，其是各种证明的前提条件，因此认识其性质对于优化问题的理解尤为重要，本文便就凸集、凸函数和凸优化等各种性质进行阐述，文末分享一波凸优化的学习资料和视频！

一、几何体的向量表示

在介绍凸集等概念之前，首先介绍一下空间几何体的向量表示，下面在定义凸集概念时便用到了线段的线段表示。先通过一个例子来认识一下如何使用向量表示线段

已知二维平面上两定点A(5, 1)、B(2, 3)，给出线段AB的方程表示如下：

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=\theta \ast 5+\left(1-\theta \right)\ast 2\\ x_2=\theta \ast 1+\left(1-\theta \right)\ast 3\end{array}\theta \in [0,1]$$

如果将点A看成向量a，点B看成向量b，则线段AB的向量表示为：

$$\overrightarrow{x}=\theta \overrightarrow{a}+\left(1-\theta \right)\ast \overrightarrow{b}\theta \in [0,1]$$

而直线的向量表示是：

$$\overrightarrow{x}=\theta \overrightarrow{a}+\left(1-\theta \right)\ast \overrightarrow{b}\theta \in R$$

由此衍生推广到高维，可得以下几何体的向量表示，三角形的向量表示：

$$\overrightarrow{x}={\theta }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\theta }_2{\overrightarrow{a}}_2+{\theta }_3{\overrightarrow{a}}_3{\theta }_i\in \left[0,1\right]\text{ and }\sum {\theta }_i=1$$

三维平面的向量表示：

$$\overrightarrow{x}={\theta }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\theta }_2{\overrightarrow{a}}_2+{\theta }_3{\overrightarrow{a}}_3{\theta }_i\in R\text{ and }\sum {\theta }_i=1$$

超几何体的向量表示：

$$\overrightarrow{x}={\theta }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\theta }_2{\overrightarrow{a}}_2+\dots +{\theta }_k{\overrightarrow{a}}_k{\theta }_i\in [0,1]\text{ and }\sum {\theta }_i=1$$

超平面的向量表示：

$$\overrightarrow{x}={\theta }_1{\overrightarrow{a}}_1+{\theta }_2{\overrightarrow{a}}_2+\dots +{\theta }_k{\overrightarrow{a}}_k{\theta }_i\in R\text{ and }\sum {\theta }_i=1$$

二、凸集凸函数定义

1、凸集

集合C内任意两点间的线段也均在集合C内，则称集合C为凸集，数学定义为：

上面凸集定义中便用到了线段的向量表示，含义是如果点x1和点x2在集合C内，则线段x1x2上所有点都在集合c内，凸集的交集仍是凸集，下面展示几个凸集示例：

2、凸函数

凸函数定义为：
$$f:C\subseteq R^n->R^1,C.x_1,x_2\in C,:$$

$$f\left({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2\right)<={\alpha }_{1}f\left(x_1\right)+{\alpha }_{2}f\left(x_2\right)\sum {\alpha }_i=1,{\alpha }_i>=0$$

则成 f(x) 为定义在凸集C上的凸函数

严格凸函数定义：设 f ⊆ Rⁿ–> R¹，C是凸集，对于x1, x2∈C 都有：

$$f\left({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2\right)<{\alpha }_{1}f\left(x_1\right)+{\alpha }_{2}f\left(x_2\right)\sum {\alpha }_i=1,{\alpha }_i>0$$

则成 f(x) 为定义在凸集C上的严格凸函数

凸函数的等价定义：设f ⊆ Rⁿ–> R¹，C是凸集，对于x1, x2, x3∈C且x1<x2<x3，下式成立则 f(x) 为凸函数：

$$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}<=\frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_1\right)}{x_3-x_1}<=\frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$$

3、凸函数定义几何解释

对于凸函数公式描述：

$$f\left({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2\right)<={\alpha }_{1}f\left(x_1\right)+{\alpha }_{2}f\left(x_2\right)\sum {\alpha }_i=1,{\alpha }_i>=0$$

如下图所示，设A1、A2是凸函数曲线上的两个点，他们对应的横坐标x1<x2，且x∈(x1, x2)，则存在 α1， α2>0且 α1+ α2=1，使得x= α1x1+ α2x2，过点x做x轴的垂线交函数于A，交直线A1A2于B点，则上式左端即为A的纵坐标，右端即为B的纵坐标：

$$y_A=f\left({\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2\right)$$

$$y_B={\alpha }_{1}f\left(x_1\right)+{\alpha }_{2}f\left(x_2\right)$$

因此，凸函数的几何含义是：函数任意两点A1和A2之间的部分位于弦A1A2的下方或曲线任一点切线上方，不严谨一个说法：割线始终位于两点间函数曲线的上方

三、凸函数各种性质及其证明

1、性质1：设 f ⊆ Rⁿ–> R¹，C是凸集，若f是凸函数，则对于∀β，证明下面水平集D_β是凸集
D β = { x ∣ f ( x ) < = β ,   x ∈ C } D_{\beta} = \{ x|f\left( x \right) < = \beta,\ x \in C\} Dβ​={x∣f(x)<=β, x∈C}

证明一个集合是凸集，按照凸集性质即证明凸集中任意两点构成的线段仍然在凸集内，证明见下图：

2、性质2：凸优化问题的局部极小值是全局极小值

这个性质是凸优化问题一个良好的性质，在机器学习任务中我们只需将非凸问题转化为凸优化问题，便可直接求出问题的全局极值，下面给出证明：

我们观察下面两幅图，形象感受一下为什么凸优化问题的局部最优解是全局最优解
(1) 从下图可以看出当函数不是凸函数时，当对非凸函数f(x)进行最优化时，便可能得到局部最优解，无法获得全局最优解

(2) 从下图可以看出当目标函数可行域是非凸时，则此时对函数进行优化时也可能错过全局最优解

3、性质3：设 f ⊆ Rⁿ–> R¹，C是凸集，对于x1, x2∈C

(1) f为凸函数的充要条件是：对于∀x1, x2∈C且x1≠x2都有：

$$f\left(x_2\right)>f\left(x_1\right)+\nabla {f\left(x_1\right)}^T(x_2-x_1)$$

(2) f为严格凸函数的充要条件是：对于∀x1, x2∈C且x1≠x2都有：
$$f\left(x_2\right)>=f\left(x_1\right)+\nabla {f\left(x_1\right)}^T(x_2-x_1)$$

证明过程如下：

性质3描述的凸函数一阶可微时具有的性质，下面给出该性质的几何解释

看上图，凸函数f(x)，在函数f(x)上取一点(x, f(x))做曲线的切线，切线的斜率为k，可以看出对于凸函数f(x)来说，切线始终是凸函数f(x)的下界，我们看点A、B，B是曲线上一点，A点是切线上一点，且A、B的横坐标都为y，则B点的纵坐标始终大于A点的纵坐标，于是便可得到上述性质：

$$f\left(y\right)\ge f\left(x\right)+\nabla {f\left(x\right)}^T(y-x)$$

当y不断逼近x时，则上式等号成立

4、性质4：凸函数其Hessian矩阵半正定

性质4描述的凸函数二阶可微时满足的性质，即凸函数Hessian矩阵半正定，此性质可通过泰勒公式进行，在给出该性质证明之前，Hessian矩阵和泰勒公式定义

Hessian矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，一个多元函数Hessian矩阵定义如下：

泰勒公式是用若干项连加来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得，下面给出一个函数f(x)在x=a点的泰勒展开式：

上述性质凸函数其Hessian矩阵半正定的证明如下：

5、性质5：若 x ⊆ Rⁿ，y⊆ Rⁿ，Q为半正定对称阵，证明f(x) = X^TQX为凸函数

6、性质6：凸函数f(x)，其中Q₁+Q₂+…+Q_n=1,0<= Q_i<=1，证明下面不等式：

$$f\left(Q_1{x}_1+Q_2{x}_2+\dots +Q_n{x}_n+\right)<=Q_{1}f\left(x_1\right)+Q_{2}f\left(x_2\right)+\dots +Q_{n}f(x_n)$$

7、Jessen不等式，f(x)为凸函数，其中E(x)是x的期望，证明：

$$f\left(E\left(x\right)\right)<=E(f(x))$$

四、凸优化定义

1、凸优化问题定义

一个凸优化问题可描述为：

$$f\left(x\right)s.t.x\in C$$

$$\text{s.t. }{g}_i\left(x\right)<=0h_i\left(x\right)=0$$

通过以下凸优化性质便可理解何为凸优化问题：

(1) 目的是求解目标函数的最小值；
(2) 目标函数f(x)和不等式约束函数g(x)都是凸函数，定义域是凸集；
(3) 若存在等式约束函数，则等式约束函数h(x)为仿射函数；仿射函数指的是最高次数为1的多项式函数，一般形式为f(x)= Ax + b，A是m*k矩阵，x是一个k向量，b是一个m向量
(4) 凸优化问题有一个良好的性质即：局部最优解便是全局最优解

2、常见凸优化问题

(1) 线性规划LinearProgramming(LP)

如果目标函数和不等式约束函数都是仿射函数，则凸优化问题称为线性规划，数学表示为：

$$c^{T}x+d$$

$$s.t.Gx\preccurlyeq hAx=b$$

(2) 二次规划QuadraticProgramming(QP)

如果目标函数是凸二次函数，而不等式约束仍是仿射函数，则凸优化问题称为二次规划，数学表示为：

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Px+c^{T}x+d$$

$$s.t.Gx\prec =hAx=b$$

(3) 二次约束的二次规划Quadratically Constrained Quadratic Programming(QCQP)

如果目标函数和不等书约束均为凸二次函数，则凸优化问题称为二次约束的二次规划，数学表示为：

$$\frac{1}{2}{x}^{T}Px+c^{T}x+d$$

$$\text{s.t. }\frac{1}{2}{x}^T{Q}_{i}x+r_i^{T}x+s_i\le 0i=1,2,\dots ,mAx=b$$

(4) 半正定规划Semidefinite Programming(SDP)

半正定规划较前面的复杂，在机器学习中也经常用到，下面给出数学描述：

$$tr(CX)$$

$$\text{s.t. tr}\left(A_{i}x\right)=b_{i}i=1,2,\dots ,pX\succcurlyeq 0$$

其中符号tr(A)表示矩阵A的迹，矩阵A的迹是指A的对角线上各个元素的总和

五、浅谈凸优化问题为何如此重要

1、凸优化具有良好性质，如局部最优解是全局最优解，且凸优化问题是多项式时间可解问题，如：线性规划问题；

2、很多非凸优化或NP-Hard问题可以转化成凸优化问题，方法：对偶、松弛(扩大可行域，去掉部分约束条件)，在SVM算法中，为了对目标函数进行优化，便使用了拉格朗日乘子法、对偶问题、引入松弛因子等

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