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一、术语

术语：

• 有限字母表 ∑：如Σ = {a, b}
• 语言L：语言 L 是有限字母表 ∑ 上有限长度字符串的集合。如L(ε)= {ε}
• 正规式：用来表示模式，如r = (a|b)*(a|bb)
• 正规集：用正规式描述的语言，即正规式描述的字符串集合。如L(r)

1.语言L

定义2.1 语言L是有限字母表∑上有限长度字符串的集合

表示、术语	举例
|S|	|abc|= 3
ε	|ε|= 0
S1S2	“abc”“def”=“abcdef”
Sn	“abc”3 =“abcabcabc”
S的前缀X	“abc”的前缀可以是：ε，a，ab, abc
S的后缀X	“abc”的前缀可以是：ε，c，bc, abc
S的子串X	“abc”的子串可以是： ε，a，b, c, …
S的真前缀、	“abc”的真前缀可以是：a，ab
真后缀	同理
真子串	同理
S的子序列X	“abdf”是“abcdef”的一个子序列（S中去掉0或若干个不一定连续的字符后形成的字符串 ）

表示、术语	意义
Φ	空集合，即元素个数为0的集合
{ε}	空串作为唯一元素的集合
X=L∪M	并: X={s| s∈L or s∈M }
X=L∩M	交: X={s|s∈L and s∈M}
X=LM	连接: X={st|s∈L and t∈M }
X=L*	(星)闭包: $X=L^{\ast }={\cup }_{n=0}^{\infty }{L}^n=L0\cup L1\cup L2\cup ...$
X=L+	正闭包: $X=L^{+}={\cup }_{n=1}^{\infty }{L}^n=L1\cup L2\cup L3\cup ...$

理解：$L^{\ast }={\cup }_{n=0}^{\infty }{L}^n=L^0\cup L^1\cup L^2\cup \dots$，L*是集合，所以

• $\epsilon \in L^{\ast }$（即$L^0$）
• $a、b\in L^{\ast }$（即$L^1$）
• $aa、bb、\dots \in L^{\ast }$（即$L^2$），$L^2$是$L^1\cup L^1$，每一个$L^1$可能是a，也可能是b

【注】 $L^0=\epsilon ，L^1=L，L^n=L{L}^{n-1}=L^{n-1}L$

2.正规式和正规集的定义

（1）正规式

定义2.2
令Σ是一个有限字母表，则Σ上的正规式及其表示的集合递归定义如下:
1. ε是正规式，它表示集合L(ε)={ε}
2. 若a是Σ上的字符，则a是正规式，它表示集合L(a)={a}
3. 若正规式r和s分别表示集合L(r)和L(s)，则
（a）或： r|s是正规式，表示集合L(r)∪L(s)，
（b）连接：rs是正规式，表示集合L(r)L(s)，
（c）(星)闭包：r*是正规式，表示集合(L(r))*
（d）(r)是正规式，表示的集合仍然是L(r)。（加括弧改变优先级、结合性）

PS：正规式的简化表示

• 正闭包：r+
  至少一次：若r是表示L(r)的正规式，则r+是表示(L(r))+的正规式，且下述等式成立r+ = rr* = r*r，r* = r+|ε
  例如：(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)*可以化简为：(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)+

• 可缺省：r?
  零次或一次：若r是正规式，则r?是表示L(r)∪{ε}的正规式，且下述等式成立 r?=r|ε
  注意：引入算符?的主要目的是为了回避不可以直接通过键盘输入的字符ε。
  例如： E(+|-|ε) 可以改写为：E(+|-)?

• 字符组：[r]
  若r是仅由|运算构成的正规式，则可改写为[r']，其中r'可以有如下两种形式：

  • 枚举：如[abc]，它等价于：a|b|c
  • 分段（左边界小于右边界）：如[0-9a-z]，它等价于：[0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyz]

• 非字符组：[^r]
  若[r]是一个字符组形式的正规式，则[^r]是表示∑- L(r)的正规式。
  例如：若 ∑={a, b, c, d, e, f, g}，则L([^abc]) = { d, e, f, g }

（2）正规集

正规集（正规语言）：用正规式描述的语言，即正规式描述的字符串集合。如L(r)

二、正规式的读法

正规式可以严格地规定记号的模式，用正规式说明记号的公式为：记号 = 正规式。

读作为

• “记号 定义为 正规式”
• 或者 “记号 是 正规式”。

例如 id=a(a|b)* 可以读作为 “id定义为a(a|b)*” 。

三、正规式的运算

1.正规式运算的优先级与结合性

若正规式的优先级和结合性做下述约定:

• 均具有左结合性质；
• 优先级从高到低顺序排列为:
  • 星闭包运算*、正闭包+、可缺省?（这三个同一水平）
  • 连接运算rs
  • 或运算r|s

则正规式中不必要的括号可以被省略。例如，(a)|(((b)*)(c))可以简化成a|b*c。

2.代数性质

正规式的代数性质

等价性质	释义
r | s = s | r	“或”运算满足交换律
r | ( s | t ) = ( r | s ) | t	“或”运算满足结合律
r ( s t ) = ( r s ) t	“连接”运算满足结合律
r (s | t ) = rs | rt （s | t）r = sr | tr	“连接”运算满足分配律
r** = r*	星闭包具有“幂等性”
r++ = r+	正闭包具有“幂等性”
ε r = r ε = r	字符串的前面或后面连接上空串，仍然是它
r* = （r | ε）* = r+ | ε	星闭包中一定包含 ε
r+ = r r* = r* r	“+” means “one or more” "*" means “zero or one or more”

【ps】(A*|B*)* 等价于(A|B)*

3.正规式的等价

（1）定义

定义2.3 若正规式P和Q表示了同一个正规集，则称P和Q是等价的，记为P=Q。

例2.4：
令 L(x)={a，b}，L(y)={c，d}，则 L(x|y)={a，b，c，d} ，L(y|x)={a，b，c，d}

（2）正规式等价的判定（证明）

• 根据定义，证明不同的正规式表示同一集合（例2.4）

例：证明$L((ab)\ast a)=L(a(ba)\ast )$

考虑$L((ab)\ast a)$中的任意一个串ababab…aba，
由串连接的结合性可得：a(ba)(ba)(b…a)(ba)，它恰好是$L(a(ba)\ast )$，即$L((ab)\ast a)=L(a(ba)\ast )$。
也可以用归纳法证明（提示：以ab重复0次、1次作为归纳基础，假设ab重复n次成立，证明ab重复n+1次也成立）。

• 根据正规式的代数性质进行运算

四、引入辅助定义

辅助定义： 内部名 = 正规式

例2.6 引入正规式的缩写形式和辅助定义式后，id和num的正规定义式(id=[a-zA-Z]([a-zA-Z0-9])*，num=[0-9]+(.[0-9]+)?(E(+|-)?[0-9]+)?)可重写如下。

char              = [a-zA-Z]
digit             = [0-9]
digits            = digit+
optional_fraction = ( .digits )?
optional_exponent = ( E(+|-)? digits )?
id  = char ( char|digit )*
num = digits optional_fraction optional_exponent

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【归纳】

• 正规式r=(a|bb)，则正规集L(r)={a,bb}

• 表示任意的 ab 串
  正规式r = (a|b)*
  正规集L( r )={ ε, a, b, aa, bb, ab, ba, aaa... }
  理解：还要有空串

• 表示至少包含1个子串abb的ab串
  正规式r=(a|b)*abb(a|b)
  理解：要注意包含子串，那么串的首尾都可以有或没有ab串。

• 表示首尾均为 a 的 ab 串
  正规式r=a(a|b)*a
  理解：确定首尾，中间随便搞

• 表示偶数个（至少为0）b构成的串
  正规式r=(bb)*
  理解：bb是一整个元素，$L^1=bb$

• 表示偶数个（至少为2）b构成的串
  正规式r=(bb)+

• 表示奇数个（至少为1）b构成的串
  正规式r=b(bb)*=(bb)*b

• 字符组[0-9a-z]，非字符组[^abc]

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【例题】

例1：给定 Σ = {a, b}， 以及 Σ 上的正规式r = (a|b)*(a|bb)，请问该正规式表示的正规集 L( r ) 是什么？

答：
写法（1）：
L( r ) 就是所有“以 a 或 bb 结尾的 ab 串”【这句话既是自然语言描述的模式，也是用自然语言描述的正规集】。
写法（2）：
若令正规式 s = (a|b)*, 令正规式 t=a|bb，则
L( s ) = { ε, a, b, aa, bb, ab, ba, aaa, aab, aba, abb, … }
L( t ) = { a, bb }
所以 L( r ) = L(s)L(t) = { a, bb, aa, abb, ba, bbb, aaa, aabb, bba, bbbb, … }。

例2：试给出可描述集合“偶数个a开始，后面紧跟奇数个b的ab串”的正规式。（偶数至少为0，奇数至少为1）

答：偶数个(至少为0)a开始的正规式A=(aa)*，奇数个b(至少为1)的正规式B=(bb)*b=b(bb)*
AB = (aa)*(bb)*b = (aa)*b(bb)*

例3：若某字符串集合中的每个字符串均是“偶数个a后面紧跟奇数个b”反复出现构成的ab串（偶数至少为0，奇数至少为1）。试给出可描述该集合的正规式。

((aa)*b(bb)*)+或 ((aa)*(bb)*b)+

例4：设计一个正规式，它可描述 所有不含有子串 011 的01串 。

先写出若干最简单的串： 0, 1, 11, 00, 10, 01, 010, …
上述第1、4、6、7个串反复出现的情况，可用正规式表示：(0 | 00 | 01 | 010)* = (01 | 0)*
再考虑：仅由1组成的串（实例中的第2、3），或 若干1打头的串（实例中的第5个串）。
最终的正规式：1*|1*(01|0)* = 1*(01|0)*

例5：大家已知 C/C++ 语言的块注释的形式为 /* … */，且要求块注释内部若出现星号的话，该型号后不能紧跟斜杠，因为一旦出现 */ ，则意味着块注释结束了。请你设计一个正规式可描述这种形式的块注释。

（1）最简单的注释：空注释 /**/。可用正规式 "/*"ε"*/" 描述。

（2）若注释非空，且没有星号，则可用正规式 "/*" [^*]* "*/" 描述。该正规式描述的情况也包含了空注释。

（3）若注释中出现星号，则要求星号紧后面不能是斜杠。可用正规式 "/*" ("*"[^/])* "*/" 描述。

（4）综合以上情况：即注释中，星号开始的情况 和 非星号开始的情况，可以以任意次序连续出现任意次。可得正规式 "/*" ([^*]* | ("*"[^/])* )* "*/"

似乎考虑完整了，但请注意：由于正规式 [^/] 可产生字符 "*"，而 [^*] 可产生字符 "/"，从而该正规式会产生错误的串 "/*... */ ...*/"，这显然不符合块注释的约束呀。所以可将其中的 [^/] 修改为[^*/]，从而上述正规式变成："/*" ([^*]* | ("*"[^*/])* )* "*/"

由于 (A* | B*)* 等价于 (A|B)*，所以上述正规式也等价于 "/*" ([^*] | "*"[^*/])* "*/"

（5）上步改写后的正规式，使得注释内部的星号不能连续出现。但实际上是允许这种情况出现的。所以再将上述正规式改写如下："/*" ([^*] | "*"*[^*/])* "*"* "*/"

例题：针对以下三个正规集，各写出一个可描述其结构的正规式。

（1）仅仅包含两个 1 的 0、1 序列（即 01 串）；【较容易】
0*10*10*
（2）不包含连续的 1 的 0、1 串； 【有点难】
(0|10)*1? , 1?(0|01)* , 0* (10+)* (1)? ， 1?(0+1)*0*
（3）包含偶数个 1 的 0、1 串。 【更难】
(0*10*10*)* , (0*(10*1)*)* , 0*(10*1)*0* , (0|10*1)*

例题：如果一个集合中的元素都是长度不小于 1 且均不以 ab 开始的 a、b 串，请给出描述该集合的正规式。

a|(aa|b)(a|b)*【注意连接运算的优先级比或运算的优先级高】