旋转矩阵、欧拉角、四元数、轴/角之间的转换

转自：http://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/74942989在机器人学中，表示旋转的有四种方式。不同的人可能习惯于用不同的方法，现将四种方式之间的转换整理出来如下。旋转矩阵欧拉角（RPY）绕Z轴旋转称为回转（Roll），绕Y轴旋转称为俯仰（Pitch），绕X轴旋转称为偏转（Yaw）。{A}为参考坐

ersaijun

6902人浏览 · 2017-07-13 09:41:58

ersaijun · 2017-07-13 09:41:58 发布

转自：http://blog.csdn.net/xuehuafeiwu123/article/details/74942989

并做修改
参考：

http://blog.csdn.net/yc461515457/article/details/51126352

http://www.xieguofang.cn/Maths/3D_Rotation/Guofang_Xie%27s_Formulas_for_3D_Rotation_Ch.htm

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

https://en.wikipedia.org/wiki/Axis%E2%80%93angle_representation

在机器人学中，表示旋转的有四种方式。四种方式之间的转换整理出来如下。

旋转矩阵

欧拉角（RPY）

绕Z轴旋转称为回转（Roll），绕Y轴旋转称为俯仰（Pitch），绕X轴旋转称为偏转（Yaw）。

{A}为参考坐标系，将{A}分别按顺序沿 xA,yA,zA 旋转 γ,β,α 后，和{B}重合，{A}和{B}之间的旋转方程：

$A B R x y z = (γ, β, α) = R (z A, α) R (y A, β) R (x A, α)$
四元数
```
是角/轴的扩展。
```

轴/角

描述一个坐标系沿某一条直线旋转一定的角度，即与另一个坐标系重合。

经常要用到他们之间的相互转换。

一、旋转矩阵

1、旋转矩阵转换为欧拉角

A B R x y z (γ, β, α) = ⎡ ⎣ ⎢ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 ⎤ ⎦ ⎥

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β = a t a n 2 (- r 31, r 211 + r 221 - - - - - - - \sqrt) \in [- π / 2, π / 2] α = a t a n 2 (r 21, r 11) γ = a t a n 2 (r 32, r 33)

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β = a t a n 2 (- r 31, r 211 + r 221 - - - - - - - \sqrt) \in [π / 2, 3 π / 2] α = a t a n 2 (- r 21, - r 11) γ = a t a n 2 (- r 32, - r 33)

2、旋转矩阵转化为角/轴

R = ⎡ ⎣ ⎢ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 ⎤ ⎦ ⎥

θ = a c o s (r 11 + r 22 + r 33 - 1 2)

r \to = 1 2 s i n θ ⎡ ⎣ ⎢ r 32 - r 23 r 13 - r 31 r 21 - r 12 ⎤ ⎦ ⎥

3、旋转矩阵转化为四元数

R = ⎡ ⎣ ⎢ r 11 r 21 r 31 r 12 r 22 r 32 r 13 r 23 r 33 ⎤ ⎦ ⎥

w = r 11 + r 22 + r 33 + 1 2

v \to = 1 2 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ s g n (r 32 - r 23) r 11 - r 22 - r 33 + 1 - - - - - - - - - - - - - - \sqrt s g n (r 13 - r 31) r 22 - r 11 - r 33 + 1 - - - - - - - - - - - - - - \sqrt s g n (r 21 - r 12) r 33 - r 22 - r 11 + 1 - - - - - - - - - - - - - - \sqrt ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

二、欧拉角（RPY）

1、欧拉角转换为旋转矩阵

A B R x y z (γ, β, α) = ⎡ ⎣ ⎢ c α c β s α c β - s β c α s β s γ - s α c γ s α s β s γ + c α c γ c β s γ c α s β c γ + s α s γ s α s β c γ - c α s γ c β c γ ⎤ ⎦ ⎥

三、四元数

1、四元数转化为旋转矩阵

R = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ 2 (w 2 + v 2 x) - 1 2 (v x v y + w v z) 2 (v x v z - w v x) 2 (v x v y - w v z) 2 (w 2 + v 2 y) - 1 2 (v y v z + w v x) 2 (v x v z + w v x) 2 (v y v z - w v x) 2 (w 2 + v 2 z) - 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥

四、轴/角

1、轴/角转化为旋转矩阵

R = ⎡ ⎣ ⎢ r 2 x (1 - c θ) + c θ r x r y (1 - c θ) + r z s θ r x r z (1 - c θ) - r y s θ r x r y (1 - c θ) - r z s θ r 2 y (1 - c θ) + c θ r y r z (1 - c θ) + r x s θ r x r z (1 - c θ) + r y s θ r y r z (1 - c θ) - r x s θ r 2 z (1 - c θ) + c θ ⎤ ⎦ ⎥

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