Tonelli-Shanks算法_python

该算法应用于求二次剩余

也就是形如$x^2\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​的同余式，已知$n,p$​求$x$​

判断二次（非）剩余

为了执行这个算法，需要知道如何判断二次（非）剩余

所谓二次（非）剩余也就是上面提到的同余式有无解的另一个说法

而判断二次剩余我们可以使用欧拉准则

$n^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​；此情况为有解​

$n^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​​；此情况为无解

python表示为

if pow(n,(p-1)//2,p) == 1:
	print("二次剩余")
if pow(n,(p-1)//2,p) == p - 1:
	print("二次非剩余")

这里二次非剩余的判断条件不是$-1$而是$p-1$，是因为在pow()函数计算的结果不会为负数，那么在模$p$的世界中$p-1$等价于$-1$

$Algorithmprocess$

同余式$x^2\equiv n(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$；其中$p$为奇素数

• 首先确保$n$是$p$的二次剩余，有个性质可以简单地判断，就是$n$​是否为平方数

• 如果$p$满足$p\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$，那么直接返回算法结果$r=n^{\frac{p+1}{4}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

• 令$q=p-1$​​​，然后不断地让$p$​除$2$​，直到$p$​成为一个奇数，整除的次数记作$s$

• 选择一个整数$z$​使得$z$​是$p$​的二次非剩余，并计算$c\equiv z^q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​

• $r\equiv n^{\frac{q+1}{2}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，$t\equiv n^q(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，$m=s$

• 进行外层循环

若$t$满足$t\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，返回算法结果$r$

• 否则，进行内层循环

令中间值$temp\equiv t^{2^i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，当$temp$​满足$temp\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$时进行以下计算

$b\equiv c^{2^{m-i-1}}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​；注意，这里的$i$​也就是$temp\equiv t^{2^i}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​的$i$值

$r\equiv r\ast b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$c\equiv b\ast b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

$t\equiv t\ast c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$​；这里重新赋值了$t$，也就是外层循环的$t$，若满足外层循环的条件则返回算法结果，若不满足则继续内层循环

$m=i$

---

到这里算法就结束了，返回结果$r$即是二次剩余的解

$Pythonapplication$​

def Legendre(n,p): # 这里用勒让德符号来表示判断二次（非）剩余的过程
    return pow(n,(p - 1) // 2,p)
def Tonelli_Shanks(n,p):
    assert Legendre(n,p) == 1
    if p % 4 == 3:
        return pow(n,(p + 1) // 4,p)
    q = p - 1
    s = 0
    while q % 2 == 0:
        q = q // 2
        s += 1
    for z in range(2,p):
        if Legendre(z,p) == p - 1:
            c = pow(z,q,p)
            break
    r = pow(n,(q + 1) // 2,p)
    t = pow(n,q,p)
    m = s
    if t % p == 1:
        return r
    else:
        i = 0
        while t % p != 1: # 外层循环的判断条件
            temp = pow(t,2**(i+1),p) # 这里写作i+1是为了确保之后内层循环用到i值是与这里的i+1的值是相等的
            i += 1
            if temp % p == 1: # 内层循环的判断条件
                b = pow(c,2**(m - i - 1),p)
                r = r * b % p
                c = b * b % p
                t = t * c % p
                m = i
                i = 0 # 注意每次内层循环结束后i值要更新为0
        return r

$Callmodule$​

sympy模块内有封装好了的函数可以计算二次剩余

nthroot_mod()用于求解于$n^{index}\equiv x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$的同余式

from sympy.ntheory.residue_ntheory import nthroot_mod
x=nthroot_mod(n,index,p)

$Example$

V&N2020的一道Crypto：Easy RSA

题目算到最后已知$m^2\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}r)$，已知$c,r$求$m$

直接代入定义好了的Tonelli_Shanks()函数即可

代码实现

from Crypto.Util.number import *

c = 8081092455112516397361105816900490085355315574087538340788309885334106796325593823678787887569920404814986643819898763828872716522338864714182757065213683
r = 10269028767754306217563721664976261924407940883784193817786660413744866184645984238866463711873380072803747092361041245422348883639933712733051005791543841
def Legendre(n,p):
    return pow(n,(p - 1) // 2,p)
def Tonelli_Shanks(n,p):
    assert Legendre(n,p) == 1
    if p % 4 == 3:
        return pow(n,(p + 1) // 4,p)
    q = p - 1
    s = 0
    while q % 2 == 0:
        q = q // 2
        s += 1
    for z in range(2,p):
        if Legendre(z,p) == p - 1:
            c = pow(z,q,p)
            break
    r = pow(n,(q + 1) // 2,p)
    t = pow(n,q,p)
    m = s
    if t % p == 1:
        return r
    else:
        i = 0
        while t % p != 1:
            temp = pow(t,2**(i+1),p)
            i += 1
            if temp % p == 1:
                b = pow(c,2**(m - i - 1),p)
                r = r * b % p
                c = b * b % p
                t = t * c % p
                m = i
                i = 0
        return r
    
result = Tonelli_Shanks(c,r)
print(result)
print(long_to_bytes(result))

$peference$​

Tonelli-Shanks algorithm - Rosetta Code

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