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　　参考资料：

　　https://inst.eecs.berkeley.edu/

　　USTC_MIRA_ML_Slides Lecturer: Jie Wang 

　　机器学习课上到了增强学习这一节，其中提到了Markov决策过程以及增强学习的一些个算法（比如：增强学习中的Q-learning算法，MDP中的value-iteration和policy-iteration）。但是其中还有一些不太明白的地方，查找资料的时候发现了加州大学伯克利分校的AI课件。阅读之后豁然开朗，下面是我学习了MDP之后的一点自己的理解，会多讲自己感觉难的地方，省略容易的地方，也不会有证明，但会有思路。（插句题外话：阅读了伯克利的slides之后觉得这些世界顶尖的大学为全球的教育做出了不可磨灭的贡献，假如学不好英语，科研工作很难开展。）

　　Markov过程大家都很熟悉，最大的性质就是无后效性。MDP就是在一个马尔科夫过程中找到我们眼中的“最优”策略。下面给出一些基本的定义： 

　　有了这些定义，我们就可以定义我们眼中的“最优”：即累计reward最大！这个累计reward被记作$V(s)$，即每个状态的累计reward，下面给出$V(s)$的定义！！这里千万要注意是定义，是我们最本原的东西--即累计reward~

　

　　上面的$V$有一个头标$\pi$，这个$\pi$就是所谓的policy即策略。$r(s,a)$是我们的单步reward，在stochasitc（非deterministic）的环境中，它是一个随机变量。所以$V^\pi(s)$就是从状态$s$出发，遵循策略$\pi$我们获得的累计reward. 然后我们定义了一个所谓的$Q-function$，这个$Q-function$是什么呢，$Q^\pi(s,a)$就是在当前状态为$s$的情况下采取行动$a$获得一个单步reward，再加上状态$s'$的累计reward，即$Q^\pi(s,a)=E[r(s,a)]+\gamma \sum_{s'}[\mathbf{P}(s'|s,a)V^\pi(s')]$。这里的$\gamma\in[0,1)$是一个discount，discount的存在方便了我们之后所有的公式推导，和收敛性有密切关系。

　　从上面的定义我们可以自然导出贝尔曼方程(Bellman Equation)：

$$V^\pi(s)=\mathbf{E}[r(s,\pi(s))]+\gamma\sum_{s'}\mathbf{P}(s'|s,\pi(s))V^\pi(s')$$

　　矩阵化：

$$V=(I-\gamma T)^{-1}R$$

　　其中reward向量$R$和转移矩阵$T$取决于policy（矩阵化了所以每个s都考虑到了），由此可见$V$这个东东，也就是当前策略下的Value-function取决于policy $\pi$ （不妨把$\pi$想象成Value-function的参数）。由于$\gamma\in[0,1)$，我们可以证明$I-\gamma T$是可逆的，证明方法是利用$T$是一个转移概率矩阵，也是一个stochastic matrix，有极大特征值1，以及利用可逆矩阵的齐次方程仅有零解来证明。由此 Bellman's equation admits a unique solution!

　　好了，上面定义了一大堆东西，我们回归本心，要干什么？答：极大化$V^\pi(s)$，为了实现这一个目标，有两种算法：value iteration和policy iteration，需要注意的是这两种算法都是计划算法(Planning Algorithms)，和我们真正意义上的学习、RL还是有差距的。

　　value iteration

　　

　　Policy Iteration　 

 

 　　我们可以证明，这两种算法都能够通过迭代收敛到最优的$V$值。也就是说，我们通过这两种算法，不断的改进我们的policy即$\pi$，使得每个状态下的$V(s)$逐渐增大，最终收敛到$V^*(s)$。注意这里每个状态的价值都是非减的，这是马尔科夫性决定的，我们的政策始终在不断的、贪心的进行着优化，最终，Value迭代得到了最优的Value值（还需要简单的一步转化才能得到最优的政策），Policy迭代则直接得到了最优的政策$\pi$。 

　　我写了一段代码对上述过程进行说明，见https://www.cnblogs.com/chester-cs/p/13403879.html