最近在学增强学习，边看课程视频编写的总结。希望和大家一起讨论学习…

Markov Process

状态 $s$是马尔科夫的但且仅当:

$$P(S_{(t+1)}|S_t）=P(S_{t+1}|S_1,...,S_t)$$
一个马尔科夫过程可以用一个二元组$(S,P)$定义，其中S为有限的状态的集合，P为转移矩阵。对于一个马尔科夫过程一个样本(sample)为一个随机采样的序列(sequence)。

Markov Reward Process

没有价值的判断就无法生成有效的策略。因此，引入了reward这样一个概念。 一个markov reward process 是一个四元组($S,P,R,\gamma$)，其中$R$ 为reward function，定义为

$$R_s=E(R_{t+1}|S_t=s)$$

$\gamma$ 为折扣系数,此处的reward可以理解为离开当前状态得到的奖赏。
而我们所关心的是一个样本（sequence）在某个时刻所带来的回报，即累计奖赏（accumulated reward）return。

$$G_t=R_{t+1}+\gamma R_{t+2}+...=\sum_{k=0}^{\infty}\gamma^kR_{t+k+1}$$

这里引入折扣的原因一是因为未来的不确定性且为了避免无穷大的return。而对于金融领域，立即的奖赏明显比延后的奖赏更加诱人。
State value function 评分函数 $v(s)$ 表示从当前状态$s$ 出发能够得到的奖赏的期望，描述的是状态$v(s)$的长期价值。

$$v(s)=E(G_t|S_t=s)$$

Bellman Equation

将$G_t$ 带入可得

$$v(s)=E(R_{t+1}+\gamma v(S_t+1)|S_t=s)\\ =R_s+\gamma\sum_{s^,\in S}P_{ss^,}v(s^,)$$ 即可得到bellman 方程
$$v=R+\gamma Pv$$
其中 $v,R$为列向量， $P$为转移概率矩阵。其计算开销巨大$O(n^3)$。
迭代求取的方法有：动态规划，时序差分学习，蒙特卡洛评价等方式

Markov Dicision Process

一个马尔科夫决策过程可有一个5元组$(S,A,P,R,\gamma)$描述
其中$A$为动作action的集合，$P$则被定义为
$P^{a}_{ss^,}=P(S_{t+1}=s^,|S_t=s,A_t=a)$
即状态$s$ 经动作$a$转移到状态$s^,$的概率
$R$的定义类似于此前，

$$R^a_s=E(R_{t+1}|S_t=s,A_t=a)$$

policy

一个策略$\pi$ 指的是对于一个状态对应的可能执行的动作的分布

$$\pi(a|s)=P(A_t=a|S_t=s)$$ 且其不随时间的改变而改变
有了策略后，可以根据value state function 定义 action value function。
$$q_\pi=E_\pi(G_t|S_t=s,A_t=a)\\ =E_\pi(R_{t+1}+\gamma q_\pi(S_{t+1},A_{t+1})|S_t=s,A_t=a)$$
同时可得以下方程
$$v_\pi(s)=\sum_{a \in A}\pi(a|s)q_\pi(s,a)$$
$$q_\pi(s,a)=R^a_s+\gamma \sum_{s^, \in S}P^a_{ss^,}v_\pi(s^,)$$

Optimal Value Function

$$v_*(s)=max_\pi v_\pi(s)$$
$$q_*(s,a)=max_\pi q_\pi(s,a)$$
一个最优策略可以由 $q_*(s,a)$得到：
$$\pi_*(s,a)=\begin{cases} 1&a=argmax_{a\in A}q_*(s,a)\\ 0&otherwise\end{cases}$$

Extensions to MDPs

POMDP(partially observable markov decision)

我的理解是，他是一个加入了动作的隐马尔科夫模型