第一章 绪论

机器人中的不确定性

• 机器人所处的环境。尤其是在有人的，高动态环境中。
• 传感器。受到传感器物理限制、性能限制，以及噪声和故障。
• 执行机构。控制噪声、机械故障等。
• 软件。内部模型是近似模型，是真实世界的抽象，存在模型误差
• 近似算法。

概率机器人学

概率机器人的主要思想是用概率理论的运算，明确表示机器人中的不确定性。不再只依赖可能出现情况的单一的“最好推测”，而是用概率算法来表示在整个推测空间的概率分布信息。

与传统机器人编程技术（基于模型和基于行为）相比，概率方法在面对传感器的局限和模型局限时鲁棒性更强。在很多方面，概率机器人即是基于模型的，又是基于行为的技术。

概率机器人学的代价：

1. 计算复杂性。概率算法本质上比非概率算法效率低。因为它考虑的是整个概率密度而不是单一的推测。
2. 近似的必要性。精确的后验分布往往很难计算，不确定性可以用一个紧凑的参数模型（如高斯分布）较好的近似。

第二章 递归状态估计

概率机器人技术的核心就是由传感器数据来估计状态的思路。状态估计指的是从传感器数据来推断不能直接观测的状态变量。

基本概率公式

建模：传感器、控制、机器人状态、环境等都建某为随机变量。

正态分布概率密度函数：
$$p(x)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-\frac{1}{2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(x-u{)}^2}{{\sigma }^2}\right\}$$
记作**$\mathcal{N}(x;u,{\sigma }^2)$**

多元状态分布概率密度函数：
$$p(x)=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(2\pi \Sigma {)}^{-\frac{1}{2}}\exp \left\{-\frac{1}{2}(x-u{)}^T{\Sigma }^{-1}(x-u)\right\}$$
**$\Sigma$是协方差矩阵，为半正定对称矩阵。$\mu$**为均值矢量。

多元是单变量的泛华，对于单变量，$\Sigma ={\sigma }^2$，上面两式等价。

概率密度函数积分为1：
$$\int p(x)\mathrm{d}x=1$$
联合分布:
$$p(x,y)=p(X=x,Y=y)$$
若$X$与$Y$独立，则有:
$$p(x,y)=p(x)p(y)$$

条件概率：
$$p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p(y)}(p(y)>0)$$
若$X$与$Y$独立，有：
$$p(x|y)=\frac{p(x)p(y)}{p(y)}=p(x)$$
若$X$与$Y$以变量$Z$条件独立，则有：
$$\begin{gathered} p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)\text{(条件独立下的联合概率分布)} \\ p(x|z)=p(x|z,y) \\ p(y|z)=p(y|z,x) \end{gathered}$$

条件独立不代表独立，独立也不代表条件独立：
$$\begin{gathered} p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)\nRightarrow p(x,y)=p(x)p(y) \\ p(x,y)=p(x)p(y)\nRightarrow p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z) \end{gathered}$$
条件独立非常重要

全概率公式：
$$\begin{gathered} p(x)=\sum _{y}p(x|y)p(y)\text{(}离散情况) \\ p(x)=\int p(x|y)p(y)\mathrm{d}y\text{(}连续情况) \end{gathered}$$
贝叶斯准则：
$$\begin{gathered} p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{{\sum }_{x^{\prime }}p(y|x^{\prime })p(x^{\prime })}\text{(离散)} \\ p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\int p(y|x^{\prime })p(x^{\prime })\mathrm{d}{x}^{\prime }}\text{(连续)} \end{gathered}$$
$p(x)$为先验概率，$p(x|y)$为后验概率，$p(y|x)$为生成模型。

由于$p(y)$不依赖于$x$，$p(y{)}^{-1}$经常写成归一化常量$\eta$，因此贝叶斯公式可以写作：
$$p(x|y)=\eta p(y|x)p(x)$$
条件下的贝叶斯准则：
$$p(x|y,z)=\frac{p(y|x,z)p(x|z)}{p(y|z)}$$
期望与协方差：
$$\begin{gathered} E[X]=\sum _{x}xp(x)\text{(离散)} \\ E[X]=\int xp(x)\mathrm{d}x\text{(连续)} \\ \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[X]=E[X-E[X]{]}^2=E[X^2]-E[X{]}^2 \end{gathered}$$
期望是随机变量的线性函数：
$$E[aX+b]=aE[X]+b$$
熵(用来表示机器人接受的信息)：
$$\begin{gathered} H_p(x)=E[-{\log }_{2}p(x)] \\ {H}_p(x)=-\sum _{x}p(x){\log }_{2}p(x)\text{(离散)} \\ {H}_p(x)=-\int p(x){\log }_{2}p(x)\mathrm{d}x\text{(连续)} \end{gathered}$$
$-{\log }_{2}p(x)$表示使用最佳编码对$x$编码所需的比特数。

机器人与环境交互

环境或者世界是有内部状态的动态系统，机器人通过传感器获得环境的信息，由于传感器噪声和数据的不完备性，机器人保持其对于环境的一个内部置信度。环境特征用状态来表示。

典型的状态变量如下：

• 位姿
• 机器人执行机构配置
• 机器人速度和角速度
• 环境中的物体位置和特征。环境可能有很多状态变量，取决于建模的状态粒度。
• 移动的物体的位置和速度
• 影响机器人运行的其他状态变量

假设一个状态$x_t$可以最好地预测未来，则称其为完整的。完整性包括过去状态测量及控制的信息，没有先于$x_t$的状态变量可以影响未来状态的变化。这种过程也称为马尔科夫链。完整性在理论上很重要(各种推导经常假设马尔科夫性)，实际上的机器人系统不可能有完整的状态。

状态空间可以是连续的，或者离散的，或者混合状态空间(即包含连续状态空间又包含离散状态空间)。

机器人与环境的两种基本交互：

• 测量。用传感器获取环境信息，又称为观测，感知等。

• 控制。控制机器人，改变世界状态。

测量和控制的记录称为数据。

$$\begin{gathered} z_{t1:t2}=z_{t1},z_{t1+1},z_{t1+2},\cdots ,z_{t2}\text{测量数据} \\ {u}_{t1:t2}=u_{t1},u_{t1+1},u_{t1+2},\cdots ,u_{t2}\text{控制数据} \end{gathered}$$

概率生成法则

状态演变概率法则：
$$p(x_t|x_{0:t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})$$
观测过程：
$$p(z_t|x_{0:t},z_{1:t-1},u_{1:t})$$

若状态$x$是完整的，即某个状态是前面所有状态的充分总结，则由条件独立，有：
$$\begin{gathered} p(x_t|x_{0:t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})=p(x_t|x_{t-1},u_t) \\ p(z_t|x_{0:t},z_{1:t-1},u_{1:t})=p(z_t|x_t) \end{gathered}$$
**概率$p(x_t|x_{t-1},u_t)$和$p(z_t|x_t)$称为状态转移概率和测量概率，两者一起描述机器人及环境组成的动态随机系统。**这样的时间生成模型也称为隐马尔科夫模型或动态贝叶斯网络。

置信分布

置信度反映了机器人有关环境状态的内部信息，由于状态不能直接测量，机器人使用置信度来识别真正的状态。机器人通过概率分布表示置信度，置信度分布是以可获得数据为条件的关于状态变量的后验概率
$$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}(x_t)=p(x_t|z_{1:t},u_{1:t})$$
定义$\overline{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}}(x_t)$:
$$\overline{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}}(x_t)=p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})$$
在概率滤波的框架下，$\overline{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}}(x_t)$称为预测，由$\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}(x_t)$计算$\overline{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{l}}(x_t)$称为修正或者测量更新。

贝叶斯滤波

大多数计算置信度的通用算法都是基于贝叶斯滤波。

贝叶斯滤波是递归的，下图是贝叶斯算法的一次迭代。

贝叶斯滤波主要包含两个过程：

1. 控制更新(预测)
2. 测量更新

讨论

1. 马尔科夫假设或者完整状态假设是苛刻的，其规定了过去数据和未来数据是独立的。但是很多因素会破坏这个假设，如

   • $x_t$中未包含的环境因素

   • 概率模型的不精确性

   • 近似误差

   • 控制系统的软件变量

定义状态$x_t$时，应该尽量使未建模的状态变量的影响具有随机的效果。

2. 贝叶斯滤波能以多种方式实现，一般的问题中，置信度必定是近似的。选择一个近似，需要考虑如下问题：

   • 计算效率

   • 近似的精度
     这个假设，如

   • $x_t$中未包含的环境因素

   • 概率模型的不精确性

   • 近似误差

   • 控制系统的软件变量

定义状态$x_t$时，应该尽量使未建模的状态变量的影响具有随机的效果。

2. 贝叶斯滤波能以多种方式实现，一般的问题中，置信度必定是近似的。选择一个近似，需要考虑如下问题：
   • 计算效率
   • 近似的精度
   • 易于实现